1.Два катета прямоугольного треугольника равны 4 и 11. Найдите площадь этого треугольника.

### 1. Площадь прямоугольного треугольника Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов: $S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 11 = 2 \cdot 11 = 22$. **Ответ: 22.** ### 2. Острый угол параллелограмма Допущение: угол равен 20°. Пусть биссектриса угла $A$ пересекает $BC$ в точке $K$. Так как $AD \parallel BC$, то $\angle KAD = \angle AKB$ (как накрест лежащие при параллельных прямых). Так как $AK$ — биссектриса, то $\angle KAD = \angle BAK$. Значит, $\angle BAK = \angle AKB$, и $\triangle ABK$ — равнобедренный с основанием $AK$. В параллелограмме соседние углы в сумме дают 180°, но здесь мы нашли угол $\angle B$. В $\triangle ABK$ угол $\angle AKB = 20^\circ$, тогда $\angle BAK = 20^\circ$. Угол $\angle A = 2 \cdot 20^\circ = 40^\circ$. Угол $\angle B = 180^\circ - 40^\circ = 140^\circ$. Острый угол — $40^\circ$. **Ответ: 40°.** ### 4. Длина пожарной лестницы Лестница, стена и земля образуют прямоугольный треугольник, где лестница — гипотенуза $c$. По теореме Пифагора: $c = \sqrt{12^2 + 5^2} = \sqrt{144 + 25} = \sqrt{169} = 13$. **Ответ: 13 м.** ### 5. Нахождение стороны АВ По определению синуса в прямоугольном треугольнике: $\sin B = \frac{AC}{AB}$. $0,5 = \frac{12}{AB} \Rightarrow AB = \frac{12}{0,5} = 24$. **Ответ: 24 см.** ### 6. Площадь ромба Допущение: угол равен 30°. Сторона ромба $a = 12 / 4 = 3$. Площадь ромба $S = a^2 \cdot \sin(30^\circ) = 3^2 \cdot 0,5 = 9 \cdot 0,5 = 4,5$. **Ответ: 4,5.**