Контрольная работа № 2 по теме «Случайные события. Вероятность. Графы». Вариант 1.

Привет! Давай разберем твою контрольную работу по теории вероятностей. ### Задание 1 Монета бросается 5 раз. Всего возможно $2^5 = 32$ исхода. - Событие А: «решка выпала более двух раз». Это значит, решка выпала 3, 4 или 5 раз. - Событие B: «орёл выпал более трёх раз». Это значит, орёл выпал 4 или 5 раз. Противоположные события должны удовлетворять двум условиям: их сумма вероятностей равна 1, и они не могут произойти одновременно. Посмотрим на дополнение к событию А (решка > 2 — это 3, 4, 5 раз). Противоположное событие А' — «решка выпала 0, 1 или 2 раза». Событие B («орёл выпал 4 или 5 раз») — это то же самое, что «решка выпала 1 или 0 раз». Видим, что случай «решка выпала 2 раза» входит в событие А, но не входит в B, а случай «решка выпала 1 или 0 раз» входит в B, но не входит в А. Значит, события А и В не являются противоположными. **Ответ:** Нет, не являются. ### Задание 2 Бросаем две кости. События независимы, если вероятность одного не зависит от исхода другого. - Событие М: «на второй кости выпало > 2 очков» (варианты: 3, 4, 5, 6 — всего 4 из 6). - Событие N: «сумма очков равна 7». Это пары (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1). Вероятность N без условий: $6/36 = 1/6$. Если мы знаем, что на второй кости выпало 3 (событие М), то сумма 7 возможна только при 4 на первой кости. Вероятность $1/6$. Так как знание о событии М не меняет вероятность N, события независимы. **Ответ:** Да, события независимы. ### Задание 3 Дерево вероятностей — это удобная схема. а) Сумма вероятностей всех веток, выходящих из одной точки, должна быть равна 1. - На верхнем узле: $0,3 + 0,4 = 0,7$. Не хватает $1 - 0,7 = 0,3$. - На нижнем узле: $0,2 + 0,2 = 0,4$. Не хватает $1 - 0,4 = 0,6$. б) Вероятность события А (весь нижний узел) равна произведению вероятностей пути к нему. Вероятность пути к узлу $А = 0,4 \times 0,6 = 0,24$. ### Задание 4 Таблица элементарных событий (сумма очков): | | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | |---|---|---|---|---|---|---| | **1** | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | | **2** | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | | **3** | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | | **4** | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | | **5** | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | | **6** | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | Ответы: А) Сумма меньше 3: только (1,1). Вероятность $1/36$. Б) Сумма равна 7: (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1). Вероятность $6/36 = 1/6$. В) Произведение равно 12: (2,6), (3,4), (4,3), (6,2). Вероятность $4/36 = 1/9$. ### Задание 5* Пусть $p$ — вероятность попадания, $q = 1-p$ — вероятность промаха. Дерево: - Ветка 1: Попал (вероятность $p$) - Ветка 2: Промах, затем Попал (вероятность $q \times p$) Событие «стрелок попал» включает два варианта: попал сразу или промахнулся, но потом попал. Вероятность $P = p + qp = p + (1-p)p$. а) $p=0,4, q=0,6$: $P = 0,4 + 0,6 \times 0,4 = 0,4 + 0,24 = 0,64$. б) $p=0,8, q=0,2$: $P = 0,8 + 0,2 \times 0,8 = 0,8 + 0,16 = 0,96$.