ABCD-квадрат. Sб.п., Sп.п., V

Допущение: Основание параллелепипеда — квадрат $ABCD$ со стороной $a$, высота параллелепипеда равна $H$. На рисунке диагональ боковой грани $BD_1$ (или диагональ сечения) равна 12, а угол между диагональю $BD_1$ и плоскостью основания (угол $\angle D_1BD$) равен $30^\circ$. 1. Найдем стороны параллелепипеда: Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle D_1DB$ ($D_1D \perp DB$): - $\sin 30^\circ = \frac{D_1D}{BD_1} \Rightarrow \frac{1}{2} = \frac{H}{12} \Rightarrow H = 6$. - $\cos 30^\circ = \frac{BD}{BD_1} \Rightarrow \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{BD}{12} \Rightarrow BD = 6\sqrt{3}$. 2. Найдем сторону квадрата $a$: В квадрате $ABCD$ диагональ $BD = a\sqrt{2}$. $a\sqrt{2} = 6\sqrt{3} \Rightarrow a = \frac{6\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = 3\sqrt{6}$. 3. Площадь боковой поверхности ($S_{бок}$): $S_{бок} = P_{осн} \cdot H = (4a) \cdot H = (4 \cdot 3\sqrt{6}) \cdot 6 = 72\sqrt{6}$. 4. Площадь полной поверхности ($S_{полн}$): $S_{полн} = S_{бок} + 2S_{осн} = 72\sqrt{6} + 2a^2 = 72\sqrt{6} + 2(3\sqrt{6})^2 = 72\sqrt{6} + 2(54) = 72\sqrt{6} + 108$. 5. Объем ($V$): $V = S_{осн} \cdot H = a^2 \cdot H = 54 \cdot 6 = 324$. **Ответ:** $S_{бок} = 72\sqrt{6}$, $S_{полн} = 72\sqrt{6} + 108$, $V = 324$.