Площадь треугольника со сторонами a, b и c можно вычислить по формуле Герона S=sqrt(p(p-a)(p-b)(p-c)), где p=(a+b+c)/2. Найдите площадь треугольника, длины сторон которого равны 4, 13 и 15.

### 12. Решение: Дано: стороны треугольника $a = 4$, $b = 13$, $c = 15$. 1. Найдем полупериметр $p = \frac{a+b+c}{2} = \frac{4+13+15}{2} = \frac{32}{2} = 16$. 2. По формуле Герона $S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$: $S = \sqrt{16(16-4)(16-13)(16-15)} = \sqrt{16 \cdot 12 \cdot 3 \cdot 1} = \sqrt{16 \cdot 36} = 4 \cdot 6 = 24$. **Ответ: 24** ### 13. Решение: 1) $x^2 - 64 \ge 0 \Rightarrow x^2 \ge 64$ (имеет решения: $x \le -8$ или $x \ge 8$) 2) $x^2 + 64 \le 0 \Rightarrow x^2 \le -64$ (квадрат числа не может быть отрицательным, решений нет) 3) $x^2 + 64 \ge 0$ (имеет решения при любом $x$) 4) $x^2 - 64 \le 0 \Rightarrow x^2 \le 64$ (имеет решения: $-8 \le x \le 8$) **Ответ: 2** ### 14. Решение: Это арифметическая прогрессия, где $a_1 = 20$, $d = 2$. Нужно найти 10-й член прогрессии: $a_{10} = a_1 + (n-1)d = 20 + (10-1) \cdot 2 = 20 + 18 = 38$. **Ответ: 38** ### 15. Решение: Треугольник $BMN$ подобен треугольнику $ABC$ (так как $MN \parallel AC$, углы при вершинах равны). Коэффициент подобия $k = \frac{MN}{AC} = \frac{11}{20}$. Отношение сторон равно коэффициенту подобия: $\frac{BM}{AB} = k \Rightarrow \frac{BM}{14} = \frac{11}{20}$. $BM = \frac{14 \cdot 11}{20} = \frac{154}{20} = 7,7$. **Ответ: 7,7**