Два бегуна одновременно стартовали в одном направлении из одного и того же места круговой трассы в беге на несколько кругов.

Задача 22: Пусть $v_1$ (км/ч) — скорость первого бегуна, тогда скорость второго $v_2 = v_1 + 8$ (км/ч). Время в пути: $t_1 = 1$ ч. Второй бегун пробежал первый круг за время $t_2 = 1 - 3/60 = 1 - 0,05 = 0,95$ ч. Пусть $S$ — длина круга. Тогда: $S - 7 = v_1 \cdot 1 \implies S = v_1 + 7$. Также: $S = v_2 \cdot 0,95 = (v_1 + 8) \cdot 0,95 = 0,95v_1 + 7,6$. Приравняем: $v_1 + 7 = 0,95v_1 + 7,6 \implies 0,05v_1 = 0,6 \implies v_1 = 12$ км/ч. Ответ: 12 км/ч. Задача 23: 1. Строим график: - При $x < 3$: $y = 2x - 2$. Точка $(3, 4)$ выколота. - При $3 \le x \le 4$: $y = -3x + 13$. Точка $(3, 4)$ включена, точка $(4, 1)$ включена. - При $x > 4$: $y = 1,5x - 5$. Точка $(4, 1)$ выколота. 2. Анализ горизонтальной прямой $y = m$: - При $m < 1$: одна точка пересечения (с лучом $y = 2x-2$). - При $m = 1$: одна точка (точка $(4, 1)$). - При $1 < m < 4$: три точки пересечения. - При $m = 4$: две точки (точка $(3, 4)$ и еще одна на луче $y=1,5x-5$, так как $4 = 1,5x - 5 \implies 1,5x = 9 \implies x = 6$). - При $m > 4$: две точки пересечения. Ответ: $m = 4$ или $m > 4$. Задача 24: В трапеции $ABCD$ при боковой стороне $AB$ сумма углов $\angle A + \angle B = 180^\circ$. Биссектрисы делят их пополам, значит, в $\triangle ABF$: $\angle FAB + \angle FBA = 1/2 (\angle A + \angle B) = 1/2 \cdot 180^\circ = 90^\circ$. Тогда $\angle AFB = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$. $\triangle ABF$ — прямоугольный. $AB = \sqrt{AF^2 + BF^2} = \sqrt{12^2 + 9^2} = \sqrt{144 + 81} = \sqrt{225} = 15$. Ответ: 15. Задача 25: Рассмотрим $\triangle AOE$ и $\triangle COF$: 1. $OA = OC$ (так как диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам). 2. $\angle OAE = \angle OCF$ (накрест лежащие при параллельных $AB$ и $CD$ и секущей $AC$). 3. $\angle AOE = \angle COF$ (вертикальные). Значит, $\triangle AOE = \triangle COF$ по стороне и двум прилежащим углам (второй признак равенства). Следовательно, соответствующие стороны $AE$ и $CF$ равны.