Справедливо ли утверждение: а) любые два противоположно направленных вектора коллинеарны; б) любые два коллинеарных вектора сонаправлены; в) любые два равных вектора коллинеарны;

Привет! Давай разберем эти вопросы по векторам. **1. Справедливо ли утверждение:** а) Нет. Противоположно направленные векторы лежат на параллельных прямых или на одной прямой, но они могут быть не коллинеарны, если мы рассматриваем векторы в пространстве не в классическом определении коллинеарности (коллинеарные векторы всегда лежат на параллельных прямых или одной прямой). На самом деле, любые противоположно направленные векторы коллинеарны. б) Нет. Они могут быть противоположно направленными. в) Да. Равные векторы всегда коллинеарны. г) Нет. Они могут иметь разную длину. д) Да. Это свойство транзитивности сонаправленности. е) Да. Например, $\vec{a}$ и $\vec{b}$ лежат на одной прямой, а $\vec{c}$ лежит на прямой, пересекающей их. **2. Точки A и C симметричны относительно O, $\vec{AD} = \vec{BC}$. Симметричны ли B и D?** Да. Так как $O$ — середина $AC$, то $\vec{OA} = -\vec{OC}$. Условие $\vec{AD} = \vec{BC}$ эквивалентно $D-A = C-B$, откуда $D = A+C-B$. Поскольку $A+C=2O$ (так как $O$ — середина), то $D = 2O-B$. Значит, $O$ — середина отрезка $BD$. **3. Точки A и C симметричны относительно прямой $a$, $\vec{AD} = \vec{BC}$.** а) Да, если прямая $a$ параллельна прямой $BC$ или совпадает с ней. б) Да, в общем случае. **4. Симметрия относительно плоскости $\alpha$.** а) Да, если $AB$ и $CD$ параллельны плоскости $\alpha$ и имеют равные длины. б) Да, в большинстве других случаев. **5. Если $\vec{a}$ и $\vec{a}+\vec{b}$ коллинеарны, коллинеарны ли $\vec{a}$ и $\vec{b}$?** Да, если $\vec{a}$ и $\vec{a}+\vec{b}$ коллинеарны, то $\vec{a}+\vec{b} = k\vec{a}$, следовательно $\vec{b} = (k-1)\vec{a}$, значит они коллинеарны. **6. Может ли длина суммы быть меньше длины каждого слагаемого?** Да, если векторы направлены под углом, близким к $180^\circ$. **7. Может ли длина суммы нескольких ненулевых векторов быть равной сумме их длин?** Да, если все векторы сонаправлены. **8. Может ли длина разности двух ненулевых векторов быть равной сумме их длин?** Да, если векторы противоположно направлены. **9. Может ли длина разности быть равной разности длин?** Да, если векторы сонаправлены и длина первого больше длины второго ($|\vec{a}| \ge |\vec{b}|$). **10. Может ли длина суммы быть равна длине разности?** Да, если векторы перпендикулярны ($|\vec{a}+\vec{b}|^2 = |\vec{a}-\vec{b}|^2 \Rightarrow \vec{a}^2 + 2\vec{a}\vec{b} + \vec{b}^2 = \vec{a}^2 - 2\vec{a}\vec{b} + \vec{b}^2 \Rightarrow 4\vec{a}\vec{b} = 0$).