В треугольнике ABC стороны AB и BC равны, отрезок AH — высота. Угол BCA равен 25°. Найдите угол BAH. Ответ дайте в градусах.

Решение: ### Задание 8 1. Дан треугольник $ABC$, в котором $AB = BC$. Значит, треугольник равнобедренный с основанием $AC$. 2. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны: $\angle BAC = \angle BCA$. Так как $\angle BCA = 25^\circ$, то и $\angle BAC = 25^\circ$. 3. Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$. Найдем угол при вершине $B$: $\angle ABC = 180^\circ - (25^\circ + 25^\circ) = 180^\circ - 50^\circ = 130^\circ$. 4. В прямоугольном треугольнике $AHB$ (где $AH$ — высота, значит $\angle AHB = 90^\circ$) сумма острых углов $\angle BAH$ и $\angle ABH$ равна $90^\circ$. 5. Угол $\angle ABH$ совпадает с $\angle ABC = 130^\circ$. Это невозможно для треугольника $AHB$, так как высота $AH$ падает на продолжение стороны $BC$ или внутри? Проверим: так как $\angle B = 130^\circ$ (тупой), высота из вершины $A$ к стороне $BC$ упадет на продолжение стороны $BC$ за точку $B$. Но $H$ лежит на прямой $BC$. В прямоугольном треугольнике $AHB$ угол $\angle ABH$ — внешний для треугольника $ABC$, или мы рассматриваем прямоугольный треугольник, где один из углов при основании $B$ больше 90 градусов. Пересчитаем: $\angle ABH = 180^\circ - 130^\circ = 50^\circ$ (смежный угол). В прямоугольном треугольнике $AHB$ угол $\angle BAH = 90^\circ - 50^\circ = 40^\circ$. **Ответ: 40** ### Задание 9 1. **Найдите, на каком расстоянии от пункта А автомобиль и велосипедист встретились.** На графике точка пересечения прямых (1) и (2) находится на горизонтальной линии, соответствующей значению $60$ км по вертикальной оси. **Ответ: 60 км** 2. **На том же рисунке достройте график движения автомобиля до момента возвращения в пункт А.** Автомобиль (график 2) выехал из А (0 км) в Б (120 км). Встреча произошла на 60 км. Автомобиль доехал до Б (120 км). Чтобы вернуться в А, нужно от точки (120 км, время около 3.5 ч) провести прямую линию вниз до уровня 0 км. Время возвращения будет зависеть от скорости, но так как скорость до этого была постоянной, нужно продлить луч до оси времени.