А1. Даны векторы a = i - 2 j; b = -4 i + 6 j . Найдите координаты вектора a + 3 b.

Привет! Давай разберем задания из теста по геометрии. **А1. Даны векторы $\vec{a} = \vec{i} - 2\vec{j}$ и $\vec{b} = -4\vec{i} + 6\vec{j}$. Найдите координаты вектора $\vec{a} + 3\vec{b}$.** 1) Найдем $3\vec{b} = 3(-4\vec{i} + 6\vec{j}) = -12\vec{i} + 18\vec{j}$. 2) Сложим с $\vec{a}$: $(\vec{i} - 2\vec{j}) + (-12\vec{i} + 18\vec{j}) = (1-12)\vec{i} + (-2+18)\vec{j} = -11\vec{i} + 16\vec{j}$. **Ответ: Б** **А2. Скалярное произведение векторов меньше нуля. Определите вид угла между векторами.** Если скалярное произведение отрицательное, то косинус угла отрицателен, значит угол тупой. **Ответ: Б** **А3. Найдите скалярное произведение векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$, если $\vec{a}\{4; 3\}, \vec{b}\{1; -2\}$.** $\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1x_2 + y_1y_2 = 4 \cdot 1 + 3 \cdot (-2) = 4 - 6 = -2$. **Ответ: В** **А4. Вычислите длину окружности, если радиус равен 6.** $C = 2\pi r = 2 \cdot \pi \cdot 6 = 12\pi$. **Ответ: А** **А5. Найдите радиус окружности, описанной около правильного четырехугольника, если его площадь равна 36 см².** 1) Правильный четырехугольник — это квадрат. Площадь квадрата $S = a^2 = 36$, значит сторона $a = 6$. 2) Радиус описанной окружности квадрата равен половине диагонали: $R = \frac{a\sqrt{2}}{2} = \frac{6\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2}$. **Ответ: Б** **А6. Найдите косинус тупого угла $\alpha$, если его синус равен $\frac{\sqrt{3}}{2}$.** 1) Основное тригонометрическое тождество: $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$. 2) $\cos^2\alpha = 1 - (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$. 3) $\cos\alpha = \pm \sqrt{\frac{1}{4}} = \pm 0,5$. 4) Так как угол тупой (вторая четверть), косинус отрицателен: $-0,5$. **Ответ: А**