1. На прямой последовательно взяты точки A, B, C, D так, что AB : BC : CD = 1 : 3 : 5. Найдите длину отрезка AC, если AD = 18 см.

1. Обозначим части отрезка как $1x$, $3x$ и $5x$. Тогда весь отрезок $AD = 1x + 3x + 5x = 9x$. Так как $AD = 18$ см, то $9x = 18 \Rightarrow x = 2$ см. Отрезок $AC = AB + BC = 1x + 3x = 4x = 4 \cdot 2 = 8$ см. Ответ: 8 см. 2. Так как $CG$ — биссектриса $\angle DCE$, то $\angle GCD = \frac{1}{2} \angle DCE = 64^\circ : 2 = 32^\circ$. Так как $CE$ — биссектриса $\angle FCD$, то $\angle FCD = 2 \cdot \angle ECD = 2 \cdot 64^\circ = 128^\circ$. Ответ: $\angle GCD = 32^\circ$, $\angle FCD = 128^\circ$. 3. В равнобедренном $\triangle ABC$ с основанием $AC$ углы при основании равны: $\angle A = \angle C = 54^\circ$. Сумма углов треугольника $180^\circ$, поэтому $\angle B = 180^\circ - (54^\circ + 54^\circ) = 72^\circ$. Внешний угол при вершине $C$ смежен с углом $C$, значит он равен $180^\circ - 54^\circ = 126^\circ$. Ответ: $\angle B = 72^\circ$, $\angle C = 54^\circ$, внешний угол $126^\circ$. 4. В $\triangle ABK$ углы при основании $AB$ равны половине углов треугольника $ABC$: $\angle KAB = 68^\circ : 2 = 34^\circ$, $\angle KBA = 76^\circ : 2 = 38^\circ$. Тогда $\angle AKB = 180^\circ - (34^\circ + 38^\circ) = 180^\circ - 72^\circ = 108^\circ$. Ответ: $108^\circ$. 5. Допущение: в условии есть противоречие, так как в прямоугольном треугольнике с углом $30^\circ$ и гипотенузой 16 см катет $AC$ должен быть равен $16 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 13.8$ см, а не 9 см. Будем решать, используя свойства углов. Катет $BC$ (лежащий против угла $30^\circ$) равен половине гипотенузы: $BC = 16 : 2 = 8$ см. Периметр $P = AB + BC + AC = 16 + 8 + 9 = 33$ см. Ответ: $BC = 8$ см, $P = 33$ см. 6. Углы $\angle CMF$ и $\angle BKF$ являются соответственными при пересечении параллельных прямых $AB$ и $CD$ секущей $EF$. Следовательно, они равны. $\angle BKF = \angle CMF = 130^\circ$. Ответ: $130^\circ$.