11. В треугольнике ABC известно, что ∠ABC = 83°, AD — биссектриса, а ∠BAD = 13°. Найдите величину угла BCA.

Привет! Давай разберем эти задачи по геометрии шаг за шагом. ### Задача 11 **Условие:** В треугольнике ABC: $\angle ABC = 83^{\circ}$, AD — биссектриса, $\angle BAD = 13^{\circ}$. Найдите $\angle BCA$. 1. Раз AD — биссектриса угла BAC, то $\angle BAC = 2 \cdot \angle BAD = 2 \cdot 13^{\circ} = 26^{\circ}$. 2. Сумма углов треугольника равна $180^{\circ}$. Рассмотрим треугольник ABC: $\angle BCA = 180^{\circ} - (\angle ABC + \angle BAC)$. 3. Подставим значения: $\angle BCA = 180^{\circ} - (83^{\circ} + 26^{\circ}) = 180^{\circ} - 109^{\circ} = 71^{\circ}$. **Ответ:** 71 ### Задача 12 **Условие:** Сторона CA касается окружности в точке A. CO пересекает окружность в точке B. $\angle ACO = 33^{\circ}$. Найти меньшую дугу AB. 1. Радиус OA, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной AC. Значит, $\triangle OAC$ — прямоугольный ($\angle OAC = 90^{\circ}$). 2. В прямоугольном треугольнике OAC найдем угол $\angle AOC$: $\angle AOC = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 33^{\circ} = 57^{\circ}$. 3. Угол $\angle AOC$ — это центральный угол, опирающийся на дугу AB. Градусная мера дуги равна градусной мере центрального угла, на который она опирается. 4. Следовательно, дуга AB = $57^{\circ}$. **Ответ:** 57 ### Задача 13 **Условие:** Периметр ромба равен 48, один из углов равен $150^{\circ}$. Найти площадь. 1. Найдем сторону ромба ($a$): так как у ромба все стороны равны, $a = P / 4 = 48 / 4 = 12$. 2. Соседние углы ромба в сумме дают $180^{\circ}$. Если один угол $150^{\circ}$, то другой острый угол равен $180^{\circ} - 150^{\circ} = 30^{\circ}$. 3. Площадь ромба можно найти по формуле: $S = a^2 \cdot \sin(\alpha)$, где $\alpha$ — любой угол ромба. 4. $S = 12^2 \cdot \sin(30^{\circ}) = 144 \cdot 0.5 = 72$. **Ответ:** 72