Привет! Давай разберем твои задания по порядку.
**1. Найдите значение выражения $21^{0.7} \cdot 7^{0.3} : 3^{-0.3}$**
$21^{0.7} \cdot 7^{0.3} : 3^{-0.3} = (3 \cdot 7)^{0.7} \cdot 7^{0.3} : 3^{-0.3} = 3^{0.7} \cdot 7^{0.7} \cdot 7^{0.3} : 3^{-0.3} = 3^{0.7 - (-0.3)} \cdot 7^{0.7 + 0.3} = 3^1 \cdot 7^1 = 21$.
**Ответ: 21.**
**2. Решите уравнение $\sin^2 x + \sin x - 2 = 0$**
Пусть $\sin x = t$, где $|t| \le 1$.
$t^2 + t - 2 = 0$. По теореме Виета $t_1 = -2$ (не подходит, так как $|-2| > 1$), $t_2 = 1$.
$\sin x = 1 \Rightarrow x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.
**Ответ: $\frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.**
**3. Найдите область определения функции $y = \log_2(4-5x)$**
Логарифм определен при условии $4 - 5x > 0 \Rightarrow -5x > -4 \Rightarrow x < 0.8$.
**Ответ: $(-\infty; 0.8)$.**
**4. Решите уравнение $x - 6 = \sqrt{2x + 12}$**
Возведем в квадрат при условии $x - 6 \ge 0 \Rightarrow x \ge 6$:
$(x - 6)^2 = 2x + 12$
$x^2 - 12x + 36 = 2x + 12$
$x^2 - 14x + 24 = 0$
По теореме Виета $x_1 = 2, x_2 = 12$.
Проверка: $x = 2$ не подходит ($2-6 < 0$). $x = 12$ подходит: $12 - 6 = 6$, $\sqrt{24 + 12} = 6$.
**Ответ: 12.**
**5. Решите уравнение $9^x - 8 \cdot 3^x - 9 = 0$**
Пусть $3^x = t, t > 0$. Тогда $(3^2)^x - 8 \cdot 3^x - 9 = 0 \Rightarrow t^2 - 8t - 9 = 0$.
Корни: $t_1 = 9, t_2 = -1$ (не подходит, $t > 0$).
$3^x = 9 \Rightarrow 3^x = 3^2 \Rightarrow x = 2$.
**Ответ: 2.**
**6. Найдите промежутки возрастания функции $y = x^3 - 6x^2 + 9x + 17$**
Находим производную: $y' = 3x^2 - 12x + 9$.
Приравниваем к нулю: $3(x^2 - 4x + 3) = 0 \Rightarrow 3(x-1)(x-3) = 0$. Корни $x=1, x=3$.
Функция возрастает там, где $y' > 0$: $(-\infty; 1] \cup [3; +\infty)$.
**Ответ: $(-\infty; 1] \cup [3; +\infty)$.**
**7. Вычислите значение выражения $\log_8 12 - \log_8 15 + \log_8 20$**
$\log_8 (\frac{12 \cdot 20}{15}) = \log_8 (12 \cdot \frac{4}{3}) = \log_8 (16) = \log_8 (8 \cdot 2) = \log_8 8 + \log_8 2 = 1 + \frac{1}{3} = \frac{4}{3} = 1.333$.
**Ответ: $4/3$.**
**8. Найдите первообразную функции $f(x) = 4x + \frac{1}{x^2}$**
$F(x) = 4 \cdot \frac{x^2}{2} - \frac{1}{x} + C = 2x^2 - \frac{1}{x} + C$.
График проходит через $M(-1; 4)$: $4 = 2(-1)^2 - \frac{1}{-1} + C \Rightarrow 4 = 2 + 1 + C \Rightarrow 4 = 3 + C \Rightarrow C = 1$.
**Ответ: $2x^2 - \frac{1}{x} + 1$.**
**9. Высота треугольника делит сторону на отрезки 4 см и 8 см. Разница сторон 2 см**
Пусть стороны $a, b$. Высота $h$ делит сторону $c = 4+8=12$ на отрезки $c_1=4, c_2=8$. Тогда $h^2 = a^2 - 4^2 = b^2 - 8^2$.
$a^2 - 16 = b^2 - 64 \Rightarrow b^2 - a^2 = 48$.
Дано: $b - a = 2 \Rightarrow b = a+2$.
$(a+2)^2 - a^2 = 48 \Rightarrow a^2 + 4a + 4 - a^2 = 48 \Rightarrow 4a = 44 \Rightarrow a = 11$. Тогда $b = 13$.
**Ответ: 11 см, 13 см.**
**10. Угол между высотой конуса и его образующей $30^\circ$, образующая 18 см**
В прямоугольном треугольнике: образующая ($l=18$) — гипотенуза, высота ($h$) — катет, противолежащий углу $60^\circ$, радиус ($r$) — катет, противолежащий углу $30^\circ$.
$r = l \cdot \sin 30^\circ = 18 \cdot 0.5 = 9$.
$h = l \cdot \cos 30^\circ = 18 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 9\sqrt{3}$.
$S_{полн} = \pi r (r + l) = \pi \cdot 9 \cdot (9 + 18) = 9 \cdot 27 \cdot \pi = 243\pi$.
**Ответ: $243\pi \text{ см}^2$.**
