Контрольная работа по теме «Производная и её применение».

Решение контрольной работы: 1. $y' = 0$ 2. $f'(x) = -7$ 3. $y' = 4^x \ln 4$ 4. $f'(x) = -4 \cdot 12x^{11} = -48x^{11}$ 5. $y' = (-14x^{-1})' = 14x^{-2} = \frac{14}{x^2}$ 6. $f'(x) = 3x^2 - 10x + 3$ 7. $y' = (x)' \cdot 5^x + x \cdot (5^x)' = 1 \cdot 5^x + x \cdot 5^x \ln 5 = 5^x(1 + x \ln 5)$ 8. $f'(x) = \frac{(x^3)' \ln x - x^3 (\ln x)'}{(\ln x)^2} = \frac{3x^2 \ln x - x^3 \cdot \frac{1}{x}}{(\ln x)^2} = \frac{x^2(3 \ln x - 1)}{(\ln x)^2}$ 9. $f'(x) = 4x + 31$. По условию $f'(x) = -5$, значит $4x + 31 = -5 \implies 4x = -36 \implies x = -9$. 10. $v(t) = s'(t) = t + 8$. При $t=2$ скорость $v(2) = 2 + 8 = 10 \text{ м/с}$. 11. $f(-3) = 0.5(-3)^2 - 2(-3) - 1 = 4.5 + 6 - 1 = 9.5$. Производная $f'(x) = x - 2$, тогда $f'(-3) = -3 - 2 = -5$. Уравнение касательной: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0) \implies y = 9.5 - 5(x + 3) \implies y = -5x - 5.5$. 12. $f'(x) = 3x^2 - 6x - 9 = 3(x^2 - 2x - 3) = 3(x - 3)(x + 1)$. Точки экстремума: $x = -1$ и $x = 3$. Функция возрастает на $(-\infty, -1] \cup [3, +\infty)$, убывает на $[-1, 3]$. $f(-1) = 5$ (максимум), $f(3) = -27$ (минимум). 13. $f'(x) = 2 - 2x$. При $2 - 2x = 0$ имеем $x = 1$. Проверяем значения на границах и в точке экстремума: $f(-2) = 8 + 2(-2) - (-2)^2 = 8 - 4 - 4 = 0$; $f(1) = 8 + 2 - 1 = 9$; $f(3) = 8 + 6 - 9 = 5$. Наибольшее значение: 9, наименьшее значение: 0.