Решение контрольных заданий по математике для студентов.

Вот решения заданий из аттестационного комплекта: 1. Решение уравнения $1 - \sqrt{x-2} = x-1$ ОДЗ: $x - 2 \ge 0 \Rightarrow x \ge 2$. Перенесем слагаемые: $2 - x = \sqrt{x-2}$. Возведем в квадрат обе части: $(2-x)^2 = x-2 \Rightarrow 4 - 4x + x^2 = x - 2 \Rightarrow x^2 - 5x + 6 = 0$. Корни уравнения: $x_1 = 2$, $x_2 = 3$. Проверка: Если $x=2$: $1 - \sqrt{2-2} = 2-1 \Rightarrow 1=1$ (верно). Если $x=3$: $1 - \sqrt{3-2} = 3-1 \Rightarrow 0=2$ (неверно). Ответ: 2. 2. Решение неравенства $6 \cdot 3^{x+2} - 3^x > 159$ $54 \cdot 3^x - 3^x > 159 \Rightarrow 53 \cdot 3^x > 159 \Rightarrow 3^x > 3 \Rightarrow x > 1$. Ответ: $(1; +\infty)$. 3. Вычисление выражения $(\frac{1}{8})^{-4/3} + 125^{1/3} \cdot (6^3)^0 - 49^{0.5}$ $(\frac{1}{8})^{-4/3} = (8)^{4/3} = (2^3)^{4/3} = 2^4 = 16$. $125^{1/3} = 5$. $(6^3)^0 = 1$. $49^{0.5} = 7$. Итого: $16 + 5 \cdot 1 - 7 = 14$. Ответ: 14. 4. Решение уравнения $\log_{16} 8 + \log_{16} (12x + 8) = 1$ $\log_{16} (8(12x+8)) = 1 \Rightarrow 96x + 64 = 16 \Rightarrow 96x = -48 \Rightarrow x = -0.5$. Проверка ОДЗ: $12(-0.5)+8 = 2 > 0$ (верно). Ответ: -0.5. 5. Точка максимума функции $f(x) = 5 + 12x - x^3$ $f'(x) = 12 - 3x^2 = 0 \Rightarrow x^2 = 4 \Rightarrow x = \pm 2$. $f''(x) = -6x$. $f''(2) = -12 < 0$ (максимум), $f''(-2) = 12 > 0$ (минимум). Ответ: 2. 6. Первообразная функции $f(x) = 3x^2 - 4x + 2$ $F(x) = x^3 - 2x^2 + 2x + C$. $F(-2) = (-8) - 2(4) + 2(-2) + C = -4 \Rightarrow -20 + C = -4 \Rightarrow C = 16$. Ответ: $F(x) = x^3 - 2x^2 + 2x + 16$. 7. Решение уравнения $2\cos^2 x + 3\sin x - 3 = 0$ $2(1-\sin^2 x) + 3\sin x - 3 = 0 \Rightarrow -2\sin^2 x + 3\sin x - 1 = 0 \Rightarrow 2\sin^2 x - 3\sin x + 1 = 0$. Замена $t=\sin x$: $2t^2 - 3t + 1 = 0$. Корни: $t_1=1, t_2=0.5$. 1) $\sin x = 1 \Rightarrow x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$. 2) $\sin x = 0.5 \Rightarrow x = (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k$. Ответ: $\frac{\pi}{2} + 2\pi n; (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k$. 8. Тождество $\frac{1-\sin^2 \alpha}{1-\cos^2 \alpha} \cdot \frac{1}{\text{ctg}^2 \alpha} = 1$ Левая часть: $\frac{\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha} \cdot \frac{1}{\text{ctg}^2 \alpha} = \text{ctg}^2 \alpha \cdot \frac{1}{\text{ctg}^2 \alpha} = 1$. Верно. 9. Объем конуса $h = l \cdot \sin 30^\circ = 6 \cdot 0.5 = 3$. $r = l \cdot \cos 30^\circ = 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}$. $V = \frac{1}{3}\pi r^2 h = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot (3\sqrt{3})^2 \cdot 3 = 27\pi \approx 84.82 \text{ см}^3$. Ответ: $27\pi$. 10. Площадь поверхности призмы Стороны треугольника: $16, 12, \sqrt{16^2+12^2}=20$. $S_{осн} = 0.5 \cdot 16 \cdot 12 = 96$. $S_{бок} = P \cdot h = (16+12+20) \cdot 14 = 48 \cdot 14 = 672$. $S_{полн} = 2 \cdot 96 + 672 = 864 \text{ см}^2$. Ответ: 864.