Составить экономико-математическую модель.

### Задача 1. Экономико-математическая модель Пусть $x_1, x_2, x_3$ — площади (в га), отведенные под капусту, картофель и многолетние травы соответственно. Целевая функция (максимизация валовой продукции): $Z = 1000x_1 + 550x_2 + 200x_3 \to \max$ Система ограничений: 1. По пашне: $x_1 + x_2 + x_3 \le 900$ 2. По трудовым ресурсам: $50x_1 + 30x_2 + 10x_3 \le 50000$ 3. По удобрениям: $20x_1 + 15x_2 + 10x_3 \le 15000$ 4. По денежным средствам: $600x_1 + 400x_2 + 150x_3 \le 300000$ 5. Условие неотрицательности: $x_1, x_2, x_3 \ge 0$ ### Задача 2. Симплекс-метод Для решения симплекс-методом задачу нужно привести к каноническому виду, добавив дополнительные переменные $y_1, y_2, y_3, y_4$ к неравенствам: $x_1 + x_2 + x_3 + y_1 = 900$ $50x_1 + 30x_2 + 10x_3 + y_2 = 50000$ $20x_1 + 15x_2 + 10x_3 + y_3 = 15000$ $600x_1 + 400x_2 + 150x_3 + y_4 = 300000$ Затем составляется симплекс-таблица и проводятся итерации до нахождения оптимального плана. ### Задача 3. Транспортная задача Дано: Запасы $A = \{90, 180, 130\}$, итого 400. Потребности $B = \{70, 120, 105, 105\}$, итого 400. Задача сбалансирована (запасы = потребности). Матрица стоимостей: | | $B_1$ | $B_2$ | $B_3$ | $B_4$ | |---|---|---|---|---| | $A_1$ | 14 | 8 | 17 | 5 | | $A_2$ | 21 | 10 | 7 | 11 | | $A_3$ | 3 | 5 | 8 | 4 | Для решения используем метод минимального элемента или метод Фогеля: 1. Заполняем клетку $A_3 B_1$ (стоимость 3): $x_{31} = 70$. Остаток $A_3 = 60$. 2. Заполняем клетку $A_3 B_4$ (стоимость 4): $x_{34} = 60$. Остаток $B_4 = 45$. 3. Заполняем клетку $A_1 B_4$ (стоимость 5): $x_{14} = 45$. Остаток $A_1 = 45$. 4. Заполняем клетку $A_1 B_2$ (стоимость 8): $x_{12} = 45$. Остаток $B_2 = 75$. 5. Заполняем клетку $A_2 B_2$ (стоимость 10): $x_{22} = 75$. Остаток $A_2 = 105$. 6. Заполняем клетку $A_2 B_3$ (стоимость 7): $x_{23} = 105$. Оптимальный план перевозок (общая стоимость $Z = 3\cdot70 + 4\cdot60 + 5\cdot45 + 8\cdot45 + 10\cdot75 + 7\cdot105 = 210 + 240 + 225 + 360 + 750 + 735 = 2520$).