1. Неопределенный интеграл и его свойства, формула Ньютона- Лейбница

Привет! Давай разберем твои задания. ### 1. Неопределенный интеграл и его свойства, формула Ньютона-Лейбница Это теоретический вопрос. Кратко: - **Неопределенный интеграл** функции $f(x)$ — это совокупность всех первообразных функций $F(x) + C$, где $F'(x) = f(x)$, а $C$ — константа. - **Свойства:** 1. $\int k \cdot f(x) dx = k \int f(x) dx$ 2. $\int (f(x) \pm g(x)) dx = \int f(x) dx \pm \int g(x) dx$ - **Формула Ньютона-Лейбница** используется для вычисления определенного интеграла: $\int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a)$, где $F(x)$ — любая первообразная для $f(x)$. ### 2. Найдите значение выражения $\frac{4^{3.5} \cdot 5^{2.5}}{20^{1.5}}$ Распишем числа через степени простых множителей: $4^{3.5} = (2^2)^{3.5} = 2^7$ $20^{1.5} = (4 \cdot 5)^{1.5} = 4^{1.5} \cdot 5^{1.5} = (2^2)^{1.5} \cdot 5^{1.5} = 2^3 \cdot 5^{1.5}$ Подставим обратно: $\frac{2^7 \cdot 5^{2.5}}{2^3 \cdot 5^{1.5}} = 2^{7-3} \cdot 5^{2.5-1.5} = 2^4 \cdot 5^1 = 16 \cdot 5 = 80$ **Ответ: 80** ### 3. Решить уравнение: $2\sin^2x + 3\sin x = 2$ Перенесем всё в левую часть: $2\sin^2x + 3\sin x - 2 = 0$ Пусть $t = \sin x$, где $|t| \le 1$. Получим уравнение: $2t^2 + 3t - 2 = 0$ Найдем корни через дискриминант: $D = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25 = 5^2$ $t_1 = \frac{-3 + 5}{4} = \frac{2}{4} = 0.5$ $t_2 = \frac{-3 - 5}{4} = -2$ (не подходит, так как $|\sin x| \le 1$) Решим уравнение $\sin x = 0.5$: $x = (-1)^k \cdot \arcsin(0.5) + \pi k = (-1)^k \cdot \frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$ Или двумя сериями: $x = \frac{\pi}{6} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$ $x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$ **Ответ: $x = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$**