16. В викторине 10 вопросов. Учитель выбирает 3 из них и задаёт в определённом порядке. Сколько вариантов?

Привет! Давай разберем эти задачи по порядку. ### 16. Комбинаторика Нам нужно выбрать 3 вопроса из 10 и задать их в определенном порядке. Это задача на размещение (так как порядок важен). Формула размещений $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$. $A_{10}^3 = 10 \cdot 9 \cdot 8 = 720$. **Ответ: 720 вариантов.** ### 17. Стереометрия Пусть треугольник $ABC$ лежит в плоскости $\alpha$. $CK \perp \alpha$, значит $CK \perp CM$ (так как $CM$ лежит в этой плоскости). Образовался прямоугольный треугольник $CKM$ (угол $KCM = 90^\circ$). По теореме Пифагора $KM^2 = CK^2 + CM^2 = 15^2 + 8^2 = 225 + 64 = 289$. $KM = \sqrt{289} = 17$ см. **Ответ: 17 см.** ### 18. Тригонометрическое уравнение $\cos x = (\cos \frac{x}{2} - \sin \frac{x}{2})^2 - 1$. Раскроем скобки: $\cos x = (\cos^2 \frac{x}{2} - 2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2} + \sin^2 \frac{x}{2}) - 1$. Учитывая основное тригонометрическое тождество $\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha = 1$ и формулу синуса двойного угла $\sin 2\alpha = 2\sin \alpha \cos \alpha$: $\cos x = (1 - \sin x) - 1 \Rightarrow \cos x = -\sin x$. Разделим на $\cos x$ (при условии $\cos x \neq 0$): $\tan x = -1$. $x = -\frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$. **Ответ: $x = -\frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.** ### 19. Точка минимума $f(x) = x^3 - 4x^2 - 3x + 15$. Найдем производную: $f'(x) = 3x^2 - 8x - 3$. Приравняем к нулю: $3x^2 - 8x - 3 = 0$. Дискриминант $D = (-8)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-3) = 64 + 36 = 100$. $x_1 = \frac{8+10}{6} = 3$, $x_2 = \frac{8-10}{6} = -\frac{1}{3}$. При $x = 3$ производная меняет знак с минуса на плюс (точка минимума), при $x = -1/3$ с плюса на минус (точка максимума). **Ответ: 3.** ### 20. Площадь криволинейной трапеции $S = \int_{a}^{b} f(x) dx = \int_{0}^{3} (3x^2 + 2) dx$. Находим первообразную: $F(x) = x^3 + 2x$. Вычисляем: $F(3) - F(0) = (3^3 + 2 \cdot 3) - (0^3 + 2 \cdot 0) = (27 + 6) - 0 = 33$. **Ответ: 33.** ### 21. Скалярное произведение векторов $A(1; -1; 3)$, $B(0; 1; -2)$, $C(4; -4; 0)$. $\vec{AB} = (0-1; 1-(-1); -2-3) = (-1; 2; -5)$. $\vec{AC} = (4-1; -4-(-1); 0-3) = (3; -3; -3)$. Скалярное произведение: $\vec{AB} \cdot \vec{AC} = (-1 \cdot 3) + (2 \cdot -3) + (-5 \cdot -3) = -3 - 6 + 15 = 6$. **Ответ: 6.**