Вычислите 12^1/3 * 6^2/3 * (0,5)^1/3.

Привет! Давай разберем твой экзамен по математике шаг за шагом. ### Задание 1 Вычислить $12^{1/3} \cdot 6^{2/3} \cdot (0,5)^{1/3}$. Представим $0,5$ как $\frac{1}{2}$ или $2^{-1}$, а $12$ как $2^2 \cdot 3$: $12^{1/3} = (2^2 \cdot 3)^{1/3} = 2^{2/3} \cdot 3^{1/3}$ $6^{2/3} = (2 \cdot 3)^{2/3} = 2^{2/3} \cdot 3^{2/3}$ $(0,5)^{1/3} = (2^{-1})^{1/3} = 2^{-1/3}$ Перемножим их: $2^{2/3} \cdot 3^{1/3} \cdot 2^{2/3} \cdot 3^{2/3} \cdot 2^{-1/3} = 2^{(2/3 + 2/3 - 1/3)} \cdot 3^{(1/3 + 2/3)} = 2^{3/3} \cdot 3^{3/3} = 2^1 \cdot 3^1 = 6$. **Ответ: 6.** ### Задание 2 Решить неравенство $2 \lg 0,5 + \lg x > \lg 5$. ОДЗ: $x > 0$. $2 \lg 0,5 = \lg(0,5^2) = \lg 0,25$. $\lg 0,25 + \lg x > \lg 5 \Rightarrow \lg(0,25x) > \lg 5$. $0,25x > 5 \Rightarrow x > 20$. **Ответ: $x > 20$.** ### Задание 3 Решить уравнение $\cos(-x) = \sin\frac{\pi}{2}$. $\cos(-x) = \cos x$ (четная функция). $\sin\frac{\pi}{2} = 1$. $\cos x = 1$. $x = 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$. **Ответ: $2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.** ### Задание 4 Нужно построить график на $[-5; 3]$ с диапазоном $[-4; 2]$. - Производная $f'(x) > 0$ на $(-5; -3)$ и $(0; 3)$ — функция возрастает. - Производная $f'(x) < 0$ на $(-3; 0)$ — функция убывает. - Нуль производной в $x = -3$ (локальный максимум) и $x = 0$ (локальный минимум). *Построй график, который растет от -5 до -3, убывает до 0 и снова растет до 3.* ### Задание 5 Найти все функции, имеющие производную $f'(x) = x^2 - 4x$. Нужно найти первообразную: $f(x) = \int (x^2 - 4x) dx = \frac{x^3}{3} - 2x^2 + C$. **Ответ: $\frac{1}{3}x^3 - 2x^2 + C$, где $C$ — константа.** ### Задание 6 Так как отрезки $AB$ и $CD$ лежат в плоскостях $\alpha$ и $\beta$ соответственно и их продолжения (прямые $AD$ и $BC$) пересекаются, то плоскости $\alpha$ и $\beta$ пересекаются по некоторой прямой, проходящей через точки пересечения прямых. ### Задание 7 Дано: $a = 4$ см, $b = 6$ см. $S_{полн} = 2(ab + ah + bh) = 136$. $2(24 + 4h + 6h) = 136 \Rightarrow 24 + 10h = 68 \Rightarrow 10h = 44 \Rightarrow h = 4,4$ см. $V = a \cdot b \cdot h = 4 \cdot 6 \cdot 4,4 = 24 \cdot 4,4 = 105,6$ см$^3$. **Ответ: 105,6 см$^3$.** ### Задание 8 В правильной пирамиде высота $H$, апофема $l$ (высота боковой грани). Угол бокового ребра к основанию — это угол между ребром и его проекцией на основание (диагональю квадрата). $d = \sqrt{6^2 + 6^2} = 6\sqrt{2}$. Проекция ребра — половина диагонали $= 3\sqrt{2}$. $\tan(45^{\circ}) = H / (3\sqrt{2}) = 1 \Rightarrow H = 3\sqrt{2}$. $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H = \frac{1}{3} \cdot 6^2 \cdot 3\sqrt{2} = 36\sqrt{2} \approx 50,9$ см$^3$. **Ответ: $36\sqrt{2}$ см$^3$.** ### Задание 9 $\begin{cases} 27^x = 9^y \Rightarrow 3^{3x} = 3^{2y} \Rightarrow 3x = 2y \Rightarrow y = 1,5x \\ 81^x = 3^{y+1} \Rightarrow 3^{4x} = 3^{y+1} \Rightarrow 4x = y + 1 \end{cases}$ Подставим $y$: $4x = 1,5x + 1 \Rightarrow 2,5x = 1 \Rightarrow x = 0,4$. $y = 1,5 \cdot 0,4 = 0,6$. **Ответ: $(0,4; 0,6)$.** ### Задание 10 $y = 2x^3 + 3x^2 + 2$. $y' = 6x^2 + 6x = 6x(x+1)$. Критические точки: $x=0$, $x=-1$. Проверяем значения на отрезке $[-2; 2]$: $y(-2) = 2(-8) + 3(4) + 2 = -16 + 12 + 2 = -2$. $y(-1) = 2(-1) + 3(1) + 2 = 3$. $y(0) = 2$. $y(2) = 2(8) + 3(4) + 2 = 16 + 12 + 2 = 30$. Наибольшее: 30, наименьшее: -2. **Ответ: Max=30, Min=-2.**