Площадь полной поверхности прямоугольного параллелепипеда равна 136 см^2, стороны основания 4 см и 6 см. Вычислите объем прямоугольного параллелепипеда.

Решим задачи: ### Задача 7 Дано: прямоугольный параллелепипед. Площадь полной поверхности $S_{полн} = 136 \text{ см}^2$. Стороны основания $a = 4 \text{ см}$, $b = 6 \text{ см}$. Найти: объем $V$. 1. Формула полной поверхности: $S_{полн} = 2(ab + ah + bh)$, где $h$ — высота. $136 = 2(4 \cdot 6 + 4h + 6h)$ $68 = 24 + 10h$ $10h = 44$ $h = 4,4 \text{ см}$. 2. Объем $V = a \cdot b \cdot h$. $V = 4 \cdot 6 \cdot 4,4 = 24 \cdot 4,4 = 105,6 \text{ см}^3$. **Ответ: 105,6 см³.** ### Задача 8 Дано: правильная четырехугольная пирамида. Сторона основания $a = 6 \text{ см}$. Боковое ребро образует с плоскостью основания угол $45^\circ$. Найти: объем $V$. 1. Высота $H$ падает в центр квадрата (точку пересечения диагоналей). Диагональ основания $d = a\sqrt{2} = 6\sqrt{2}$. 2. Расстояние от центра до вершины основания (половина диагонали) $R = \frac{6\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2}$. 3. В прямоугольном треугольнике (высота, $R$, боковое ребро) угол $45^\circ$, значит $H = R = 3\sqrt{2}$. 4. Площадь основания $S = a^2 = 6^2 = 36$. 5. Объем $V = \frac{1}{3} S H = \frac{1}{3} \cdot 36 \cdot 3\sqrt{2} = 36\sqrt{2} \approx 50,91 \text{ см}^3$. **Ответ: $36\sqrt{2}$ см³.** ### Задача 9 Система: $\begin{cases} 27^x = 9^y \\ 81^x = 3^{y+1} \end{cases}$ Приведем к основанию 3: $\begin{cases} (3^3)^x = (3^2)^y \\ (3^4)^x = 3^{y+1} \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 3^{3x} = 3^{2y} \\ 3^{4x} = 3^{y+1} \end{cases}$ $\begin{cases} 3x = 2y \\ 4x = y+1 \end{cases}$ Из первого: $y = 1,5x$. Подставим во второе: $4x = 1,5x + 1 \Rightarrow 2,5x = 1 \Rightarrow x = 0,4$. $y = 1,5 \cdot 0,4 = 0,6$. **Ответ: (0,4; 0,6).**