Найти объем тела вращения вокруг оси Ox, образованного y = cosx, [-π/2; π/2]

Question

Вопрос:

Найти объем тела вращения вокруг оси Ox, образованного y = cosx, [-π/2; π/2]

Фотография

Ответ ассистента

Accepted Answer

Для нахождения объема тела вращения вокруг оси Ox используется формула: $V = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2 dx$ В нашем случае $f(x) = \cos x$, а границы интегрирования $a = -\frac{\pi}{2}$, $b = \frac{\pi}{2}$. 1. Подставим значения в формулу: $V = \pi \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \cos^2 x dx$ 2. Используем формулу понижения степени $\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}$: $V = \pi \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1 + \cos 2x}{2} dx = \frac{\pi}{2} \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} (1 + \cos 2x) dx$ 3. Вычислим интеграл: $V = \frac{\pi}{2} \left[ x + \frac{\sin 2x}{2} \right]_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}$ 4. Подставим пределы: $V = \frac{\pi}{2} \left( (\frac{\pi}{2} + \frac{\sin \pi}{2}) - (-\frac{\pi}{2} + \frac{\sin(-\pi)}{2}) \right)$ Так как $\sin \pi = 0$ и $\sin(-\pi) = 0$: $V = \frac{\pi}{2} (\frac{\pi}{2} - (-\frac{\pi}{2})) = \frac{\pi}{2} (\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{2}) = \frac{\pi}{2} \cdot \pi = \frac{\pi^2}{2}$ Ответ: $\frac{\pi^2}{2}$

Найти объем тела вращения вокруг оси Ox, образованного y = cosx, [-π/2; π/2]

Ответ ассистента

Другие решения