От деревянной правильной треугольной призмы отпилили все её вершины (см. рис.). Сколько рёбер у получившегося многогранника (невидимые рёбра на рисунке не изображены)?

Question

Вопрос:

От деревянной правильной треугольной призмы отпилили все её вершины (см. рис.). Сколько рёбер у получившегося многогранника (невидимые рёбра на рисунке не изображены)?

Фотография

Ответ ассистента

Accepted Answer

### Решение задачи 11 1. У правильной треугольной призмы 6 вершин. 2. В каждой вершине сходится 3 ребра. При спиливании вершины на её месте образуется треугольная грань. 3. Исходная призма имеет 9 рёбер. 4. При спиливании одной вершины образуется 3 новых ребра (стороны треугольного сечения). 5. Так как вершин 6, всего при отпиливании всех вершин добавляется $6 \times 3 = 18$ новых рёбер. 6. Однако, так как каждая исходная грань "обрезается", исходные рёбра становятся короче, но их количество остаётся прежним (они не исчезают, пока мы не отпилим их полностью, но по условию спиливаются только вершины, т.е. концы рёбер). 7. Формула Эйлера для многогранников: $В - Р + Г = 2$. 8. У новой фигуры: вершин (В) — 18 (по 3 на каждой из 6 спиленных вершин). Граней (Г) — 5 (старые грани) + 6 (новые маленькие треугольники) = 11. 9. $18 - Р + 11 = 2 \Rightarrow Р = 27$. **Ответ: 27** ### Решение задачи 12 1. Трапеция $ABCD$ прямоугольная. Проведем высоту $CK$ из вершины $C$ на основание $AD$. 2. Получим прямоугольник $ABCK$, где $AB = CK = 12$. 3. В прямоугольном треугольнике $CKD$: гипотенуза $CD = 15$, катет $CK = 12$. 4. По теореме Пифагора $KD = \sqrt{CD^2 - CK^2} = \sqrt{15^2 - 12^2} = \sqrt{225 - 144} = \sqrt{81} = 9$. 5. Основание $BC = AK = 15$ (так как $ABCK$ — прямоугольник). 6. Основание $AD = AK + KD = 15 + 9 = 24$. 7. Средняя линия трапеции $m = \frac{BC + AD}{2} = \frac{15 + 24}{2} = \frac{39}{2} = 19,5$. **Ответ: 19,5**

Ответ ассистента

Другие решения