9.5. $\int (a - bx)^3 dx$.

Question

Вопрос:

9.5. $\int (a - bx)^3 dx$.

$9.5. $\int (a - bx)^3 dx$.$

Фотография

Ответ ассистента

Accepted Answer

Привет! Давай решим эти интегралы. Используем базовые свойства интегрирования. **9.5.** $\int (a - bx)^3 dx$ Используем метод замены переменной или просто учтем коэффициент при $x$. Замена $u = a - bx$, тогда $du = -b dx$, откуда $dx = -\frac{du}{b}$. $\int u^3 (-\frac{1}{b}) du = -\frac{1}{b} \cdot \frac{u^4}{4} + C = -\frac{(a - bx)^4}{4b} + C$ **9.6.** $\int \frac{x - 2}{x^3} dx$ Разделим почленно: $\int (\frac{x}{x^3} - \frac{2}{x^3}) dx = \int (x^{-2} - 2x^{-3}) dx$ Применим формулу $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}$: $\frac{x^{-1}}{-1} - 2 \cdot \frac{x^{-2}}{-2} + C = -\frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} + C$ **9.7.** $\int \frac{(x + 1)(x^2 + 6)}{3x^2} dx$ Раскроем скобки в числителе: $\frac{1}{3} \int \frac{x^3 + 6x + x^2 + 6}{x^2} dx = \frac{1}{3} \int (x + 1 + 6x^{-1} + 6x^{-2}) dx$ Интегрируем: $\frac{1}{3} (\frac{x^2}{2} + x + 6 \ln|x| - 6x^{-1}) + C = \frac{x^2}{6} + \frac{x}{3} + 2 \ln|x| - \frac{2}{x} + C$ **9.8.** $\int (\frac{1}{x} + \frac{2}{x^2} + \frac{3}{x^3}) dx$ Запишем в виде степеней: $\int (x^{-1} + 2x^{-2} + 3x^{-3}) dx$ $\ln|x| + 2 \cdot \frac{x^{-1}}{-1} + 3 \cdot \frac{x^{-2}}{-2} + C = \ln|x| - \frac{2}{x} - \frac{3}{2x^2} + C$

9.5. $\int (a - bx)^3 dx$.

Ответ ассистента

Другие решения