A13 Найдите критические точки функции: y = -5x^2 - 2x + 7

Давай разберем эти задания по порядку. ### A13. Найдите критические точки функции $y = -5x^2 - 2x + 7$ Критические точки находятся там, где производная функции равна нулю или не существует. Наша функция — многочлен, он дифференцируем на всей числовой прямой. 1. Найдем производную: $y' = ( -5x^2 - 2x + 7 )' = -10x - 2$ 2. Приравняем к нулю: $-10x - 2 = 0$ $-10x = 2$ $x = -0,2$ **Ответ:** $-0,2$. ### A14. Решите уравнение $\log_{3}(4x + 1) = 2$ 1. По определению логарифма: $4x + 1 = 3^2$ 2. Решим уравнение: $4x + 1 = 9$ $4x = 8$ $x = 2$ 3. Проверка: при $x = 2$ аргумент $4(2) + 1 = 9 > 0$. Подходит. **Ответ:** $2$. ### B1. Решите уравнение $4^x - 2 \cdot 2^x - 48 = 0$ 1. Заметим, что $4^x = (2^2)^x = (2^x)^2$. Сделаем замену $t = 2^x$ (где $t > 0$): $t^2 - 2t - 48 = 0$ 2. По теореме Виета или через дискриминант найдем корни: $D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-48) = 4 + 192 = 196 = 14^2$ $t_1 = \frac{2 + 14}{2} = 8$ $t_2 = \frac{2 - 14}{2} = -6$ (не подходит, так как $t > 0$) 3. Обратная замена: $2^x = 8 \Rightarrow 2^x = 2^3 \Rightarrow x = 3$ **Ответ:** $3$. ### B2. Найдите точки минимума функции $y = x^3 - 48x + 1$ 1. Найдем производную: $y' = 3x^2 - 48$ 2. Найдем критические точки: $3x^2 - 48 = 0 \Rightarrow 3x^2 = 48 \Rightarrow x^2 = 16 \Rightarrow x = \pm 4$ 3. Определим характер точек. Производная меняет знак с «-» на «+» в точке минимума. При $x < -4$ (например, $-5$): $y' = 3(25) - 48 > 0$. При $-4 < x < 4$ (например, $0$): $y' = -48 < 0$. При $x > 4$ (например, $5$): $y' = 3(25) - 48 > 0$. Функция убывает на $(-4; 4)$ и возрастает на $(4; \infty)$, значит, точка минимума $x = 4$. **Ответ:** $4$. ### B3. Высота цилиндра равна 4 см, а площадь осевого сечения 24 см². Найдите объем и площадь полной поверхности цилиндра. 1. Осевое сечение — это прямоугольник со сторонами $h$ и $2R$. Площадь сечения $S_{сеч} = h \cdot 2R = 24$. $4 \cdot 2R = 24 \Rightarrow 8R = 24 \Rightarrow R = 3 \text{ см}$. 2. Объем цилиндра $V = \pi R^2 h = \pi \cdot 3^2 \cdot 4 = 36\pi \text{ см}^3$. 3. Полная поверхность $S = 2\pi R^2 + 2\pi R h = 2\pi \cdot 9 + 2\pi \cdot 3 \cdot 4 = 18\pi + 24\pi = 42\pi \text{ см}^2$. **Ответ:** $36\pi \text{ см}^3$; $42\pi \text{ см}^2$.