А1. Представьте выражение 5^(-6)*5^4.2 / 5^(-4.8) в виде степени с основанием 5.

Привет! Давай разберем задания из твоего листа. Вот решения: **А1. Представьте выражение в виде степени с основанием 5:** При умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются, а при делении — вычитаются: $$\frac{5^{-6} \cdot 5^{4.2}}{5^{-4.8}} = \frac{5^{-6+4.2}}{5^{-4.8}} = \frac{5^{-1.8}}{5^{-4.8}} = 5^{-1.8 - (-4.8)} = 5^{-1.8 + 4.8} = 5^3 = 125$$ **Ответ: 5^3 (или 125).** **А2. Вычислите $\sqrt[3]{245 \cdot 175}$:** Разложим числа на множители: $245 = 5 \cdot 49 = 5 \cdot 7^2$ $175 = 25 \cdot 7 = 5^2 \cdot 7$ Тогда выражение под корнем: $\sqrt[3]{(5 \cdot 7^2) \cdot (5^2 \cdot 7)} = \sqrt[3]{5^3 \cdot 7^3} = 5 \cdot 7 = 35$ **Ответ: 35.** **А3. Упростите выражение:** Используем формулы: $1 - \sin^2 \alpha = \cos^2 \alpha$ и $\tg \alpha \cdot \ctg \alpha = 1$ (если $\sin \alpha \neq 0, \cos \alpha \neq 0$). $\frac{\cos^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} + 1 = 1 + 1 = 2$ **Ответ: 2.** **А4. Найдите корни уравнения $9^x - 10 \cdot 3^x + 9 = 0$:** Пусть $3^x = t$, тогда $9^x = (3^2)^x = (3^x)^2 = t^2$. $t^2 - 10t + 9 = 0$ По теореме Виета: $t_1 = 9, t_2 = 1$. 1) $3^x = 9 \Rightarrow 3^x = 3^2 \Rightarrow x_1 = 2$ 2) $3^x = 1 \Rightarrow 3^x = 3^0 \Rightarrow x_2 = 0$ **Ответ: 0; 2.** **А5. Решите уравнение $\sqrt{17 + 2x - 3x^2} = x + 1$:** Возведем обе части в квадрат (с условием $x+1 \ge 0 \Rightarrow x \ge -1$): $17 + 2x - 3x^2 = x^2 + 2x + 1$ $4x^2 = 16 \Rightarrow x^2 = 4 \Rightarrow x = \pm 2$ Проверка: $x=2: \sqrt{17+4-12} = \sqrt{9} = 3; 2+1=3$ (верно) $x=-2: \sqrt{17-4-12} = \sqrt{1} = 1; -2+1=-1$ (неверно, так как $1 \neq -1$) **Ответ: 2.** **А6. Найдите значение производной $f(x) = 3x^3 + 6x - 8$ в точке $x_0 = 2$:** $f'(x) = 9x^2 + 6$ $f'(2) = 9 \cdot (2^2) + 6 = 9 \cdot 4 + 6 = 36 + 6 = 42$ **Ответ: 42.** **В1. Найдите координату $y$ точки A(-2; y; 3), если $AB = 5, B(-5; 0; 7)$:** $|AB| = \sqrt{(-5 - (-2))^2 + (0 - y)^2 + (7 - 3)^2} = 5$ $(-3)^2 + (-y)^2 + 4^2 = 5^2$ $9 + y^2 + 16 = 25$ $y^2 + 25 = 25 \Rightarrow y^2 = 0 \Rightarrow y = 0$ **Ответ: 0.** **В2. Площадь поверхности куба равна 24. Найдите его объем:** $S_{пов} = 6a^2 = 24 \Rightarrow a^2 = 4 \Rightarrow a = 2$. $V = a^3 = 2^3 = 8$. **Ответ: 8.** **В3. Исследуйте функцию $y = x^3 - 3x + 1$ на монотонность и экстремумы:** $y' = 3x^2 - 3 = 3(x-1)(x+1)$. Критические точки: $x=1, x=-1$. При $x \in (-\infty; -1)$ функция возрастает ($y' > 0$). При $x \in (-1; 1)$ функция убывает ($y' < 0$). При $x \in (1; +\infty)$ функция возрастает ($y' > 0$). $x_{max} = -1$ (точка максимума), $y_{max} = y(-1) = -1+3+1 = 3$. $x_{min} = 1$ (точка минимума), $y_{min} = y(1) = 1-3+1 = -1$. **Ответ: Возрастает на $(-\infty; -1]$ и $[1; +\infty)$; убывает на $[-1; 1]$. Экстремумы: $y_{max}=3$ в $x=-1$, $y_{min}=-1$ в $x=1$.**