Экзаменационная контрольная работа по предмету «Математика»

Привет! Давай разберем твою контрольную работу по математике. **1. Вычислить:** $\log_2 15 - \log_2 \frac{15}{16}$ Используем свойство разности логарифмов $\log_a b - \log_a c = \log_a \frac{b}{c}$: $\log_2 \left( 15 : \frac{15}{16} \right) = \log_2 \left( 15 \cdot \frac{16}{15} \right) = \log_2 16 = 4$. **Ответ: 4.** **2. Вычислить предел:** $\lim_{x \to 2} \frac{3x^2 - 8x + 4}{5x^2 - 14x + 8}$ При $x=2$ получаем неопределенность $\frac{0}{0}$. Разложим числитель и знаменатель на множители. Числитель: $3x^2 - 8x + 4 = 3(x-2)(x-2/3) = (x-2)(3x-2)$. Знаменатель: $5x^2 - 14x + 8 = 5(x-2)(x-4/5) = (x-2)(5x-4)$. $\lim_{x \to 2} \frac{(x-2)(3x-2)}{(x-2)(5x-4)} = \lim_{x \to 2} \frac{3x-2}{5x-4} = \frac{3(2)-2}{5(2)-4} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$. **Ответ: 2/3.** **3. Найти производную функции:** $y = -8\operatorname{tg} x - \sqrt{5}$ $y' = -8 \cdot (\operatorname{tg} x)' - (\sqrt{5})' = -8 \cdot \frac{1}{\cos^2 x} - 0 = -\frac{8}{\cos^2 x}$. **Ответ: $-\frac{8}{\cos^2 x}$.** **4. Найти значение производной в точке:** $y = 3x^2 - 2x^3 - \frac{x^4}{8}$, $y'(2) = ?$ $y' = 6x - 6x^2 - \frac{4x^3}{8} = 6x - 6x^2 - 0,5x^3$. $y'(2) = 6(2) - 6(2^2) - 0,5(2^3) = 12 - 24 - 4 = -16$. **Ответ: -16.** **5. Найти производную:** $y = \sqrt[3]{(3x-2)^7} = (3x-2)^{7/3}$ $y' = \frac{7}{3}(3x-2)^{7/3-1} \cdot (3x-2)' = \frac{7}{3}(3x-2)^{4/3} \cdot 3 = 7(3x-2)^{4/3} = 7\sqrt[3]{(3x-2)^4}$. **Ответ: $7\sqrt[3]{(3x-2)^4}$.** **6. Найти стационарные точки:** $y = \frac{1}{4}x^4 - \frac{3}{2}x^2$ $y' = x^3 - 3x = x(x^2 - 3) = 0$. Точки: $x = 0$, $x = \sqrt{3}$, $x = -\sqrt{3}$. **Ответ: $0, \sqrt{3}, -\sqrt{3}$.** **7. Найти точки экстремума:** $y = x^3 - 6x^2 + 9x$ $y' = 3x^2 - 12x + 9 = 3(x^2 - 4x + 3) = 3(x-1)(x-3)$. Критические точки $x=1, x=3$. При переходе через $x=1$ производная меняет знак с «+» на «-» (максимум), через $x=3$ с «-» на «+» (минимум). **Ответ: $x_{max} = 1, x_{min} = 3$.** **8. Наименьшее значение функции** $y = 1 + 4x - x^2$ на $[0; 2]$ $y' = 4 - 2x = 0 \implies x=2$. Значения: $y(0) = 1$, $y(2) = 1 + 8 - 4 = 5$. Наименьшее значение на границе. **Ответ: 1.** **9. Угол касательной:** $f(x) = 4 - \frac{\sqrt{3}}{x}$, $x_0 = 1$ $f'(x) = -\sqrt{3} \cdot (-1)x^{-2} = \frac{\sqrt{3}}{x^2}$. $f'(1) = \sqrt{3} = \operatorname{tg} \alpha \implies \alpha = 60^\circ$ (или $\frac{\pi}{3}$). **Ответ: $60^\circ$.** **10. Производные:** 1) $y = e^{5x+2} \implies y' = e^{5x+2} \cdot 5 = 5e^{5x+2}$ 2) $y = 5^{x^5-3x+4} \implies y' = 5^{x^5-3x+4} \cdot \ln 5 \cdot (5x^4 - 3)$ 3) $y = \sin(x^3 + x) \implies y' = \cos(x^3 + x) \cdot (3x^2 + 1)$