1. Найдите отрицательный корень уравнения: x^2-x-6=0.

1. Уравнение $x^2 - x - 6 = 0$. По теореме Виета корни $x_1+x_2=1$, $x_1 \cdot x_2=-6$. Корни: 3 и -2. Отрицательный корень: -2. Ответ: -2. 2. Всего 25 девушек. Аспиранток: $25 - 6 - 9 = 10$. Вероятность того, что первой выступит аспирантка: $P = \frac{10}{25} = \frac{2}{5} = 0,4$. Ответ: 0,4. 3. $\sqrt{x} - 2 = 6 \Rightarrow \sqrt{x} = 8 \Rightarrow x = 64$. Ответ: 64. 4. $\log_{\frac{1}{2}}(2x+5) = -1 \Rightarrow 2x+5 = (\frac{1}{2})^{-1} \Rightarrow 2x+5 = 2 \Rightarrow 2x = -3 \Rightarrow x = -1,5$. Ответ: -1,5. 5. $\int_{1}^{4} (x^3 + \frac{2}{\sqrt{x}}) dx = \int_{1}^{4} (x^3 + 2x^{-0,5}) dx = [\frac{x^4}{4} + 2 \cdot \frac{x^{0,5}}{0,5}]_1^4 = [\frac{x^4}{4} + 4\sqrt{x}]_1^4 = (\frac{256}{4} + 4\sqrt{4}) - (\frac{1}{4} + 4\sqrt{1}) = (64 + 8) - (0,25 + 4) = 72 - 4,25 = 67,75$. Ответ: 67,75. 6. Площадь фигуры под графиком функции $f(x)$ на отрезке $[1; 4]$ равна определенному интегралу $\int_1^4 f(x)dx$. По формуле Ньютона-Лейбница: $F(4) - F(1)$. $F(4) = -4^3 + 7,5 \cdot 4^2 - 12 \cdot 4 + 8,5 = -64 + 120 - 48 + 8,5 = 16,5$. $F(1) = -1^3 + 7,5 \cdot 1^2 - 12 \cdot 1 + 8,5 = -1 + 7,5 - 12 + 8,5 = 3$. Площадь $S = 16,5 - 3 = 13,5$. Ответ: 13,5. 7. Площадь боковой поверхности правильной шестиугольной призмы: $S_{бок} = P_{осн} \cdot h$. Периметр основания $P_{осн} = 6 \cdot 3 = 18$. Высота $h = 6$. $S_{бок} = 18 \cdot 6 = 108$. Ответ: 108. 8. Объем цилиндра $V = \pi r^2 h$. $V_1 = \pi r_1^2 h_1 = 12$. Для второго цилиндра: $h_2 = 3h_1$, $r_2 = \frac{1}{2}r_1$. $V_2 = \pi (\frac{1}{2}r_1)^2 \cdot (3h_1) = \pi \cdot \frac{1}{4}r_1^2 \cdot 3h_1 = \frac{3}{4} \cdot (\pi r_1^2 h_1) = \frac{3}{4} \cdot 12 = 9$. Ответ: 9.