1. В корзине лежат яблоки разных сортов: 20 красных, 35 жёлтых и 25 зелёных. С какой вероятностью случайно вынутое из корзины яблоко окажется красным?

1. Всего яблок: 20 + 35 + 25 = 80. Вероятность того, что яблоко окажется красным: $P = \frac{20}{80} = \frac{1}{4} = 0,25$. 2. $(x+10)^3 = -125$. Извлечем кубический корень из обеих частей: $x + 10 = -5$, откуда $x = -15$. 3. $\lg(x^2 - 7x - 7) = 0$. Перейдем к степенному виду: $x^2 - 7x - 7 = 10^0 = 1$. Перенесем всё влево: $x^2 - 7x - 8 = 0$. По теореме Виета корни $x_1 = 8$, $x_2 = -1$. Проверим ОДЗ: $x^2 - 7x - 7 > 0$. При $x = 8$: $64 - 56 - 7 = 1 > 0$ (подходит). При $x = -1$: $1 + 7 - 7 = 1 > 0$ (подходит). Так как требуется только положительный корень, ответ: 8. 4. $S = \int_{1}^{3} (-x^2 + 6x - 5) dx = \left[ -\frac{x^3}{3} + 3x^2 - 5x \right]_1^3 = (-9 + 27 - 15) - (-1/3 + 3 - 5) = 3 - (-7/3) = 3 + 2,33 = 16/3 = 5\frac{1}{3}$. 5. $V_1 = \pi R^2 H = 18$. У второго цилиндра $H_2 = 2H$, $R_2 = R/3$. $V_2 = \pi (R/3)^2 \cdot (2H) = \pi (R^2/9) \cdot 2H = \frac{2}{9} \pi R^2 H = \frac{2}{9} V_1 = \frac{2}{9} \cdot 18 = 4$. Ответ: 4. 6. $\sqrt{3-2x} = x$. Возведем в квадрат при условии $x \ge 0$: $3 - 2x = x^2 \Rightarrow x^2 + 2x - 3 = 0$. Корни: $x = -3$ (не подходит, так как $x \ge 0$) и $x = 1$. Проверка: $\sqrt{3-2} = 1$, $1 = 1$. Ответ: 1. 7. $V = \frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} \pi \cdot 6^2 \cdot 8 = \frac{1}{3} \pi \cdot 36 \cdot 8 = 12 \cdot 8 \cdot \pi = 96\pi \approx 301,59 \text{ см}^3$. 8. $7^{\frac{x^2-2x-8}{x+6}} \ge 7^0$. Показатели: $\frac{x^2-2x-8}{x+6} \ge 0$. Разложим числитель: $(x-4)(x+2) \ge 0$ при $x \neq -6$. Методом интервалов на числовой прямой (точки $-6, -2, 4$): при $x \in (-6, -2] \cup [4, +\infty)$ выражение $\ge 0$. Ответ: $x \in (-6, -2] \cup [4, +\infty)$.