1. В пекарне, выпекающей булочки с изюмом, в среднем на 100 булочек в 5 булочек забывают положить изюм. Найдите вероятность того, что купленная булочка окажется с изюмом.

1. Всего булочек 100, без изюма 5. Значит, с изюмом: $100 - 5 = 95$ булочек. Вероятность равна отношению благоприятных исходов к общему числу: $P = 95/100 = 0,95$. **Ответ: 0,95** 2. Решим уравнение $(1/6)^{x-1} = 216$. Запишем $216$ как $6^3$, а $(1/6)$ как $6^{-1}$. $6^{-(x-1)} = 6^3$ $-x + 1 = 3$ $-x = 2$ $x = -2$ **Ответ: -2** 3. Вычислим интеграл $\int_1^4 (6x^2 - \frac{1}{\sqrt{x}} + 3) dx$: $\int (6x^2 - x^{-0,5} + 3) dx = 2x^3 - 2x^{0,5} + 3x \Big|_1^4$ Подставим пределы: $(2 \cdot 4^3 - 2 \cdot \sqrt{4} + 3 \cdot 4) - (2 \cdot 1^3 - 2 \cdot \sqrt{1} + 3 \cdot 1)$ $(128 - 4 + 12) - (2 - 2 + 3) = 136 - 3 = 133$. **Ответ: 133** 4. Уравнение $\log_8(x+6) = \log_8(2x-6)$. Приравняем аргументы: $x + 6 = 2x - 6$. Отсюда: $x = 12$. Проверка: $12+6=18>0$ и $24-6=18>0$. Корень подходит. **Ответ: 12** 5. Объем цилиндра $V = \pi r^2 h$. Пусть параметры первого $V_1 = \pi r_1^2 h_1 = 36$. Для второго: $h_2 = 3h_1$, $r_2 = r_1/2$. $V_2 = \pi (r_1/2)^2 \cdot 3h_1 = \pi \frac{r_1^2}{4} \cdot 3h_1 = \frac{3}{4} V_1 = \frac{3}{4} \cdot 36 = 27$. **Ответ: 27** 6. Площадь фигуры под графиком функции $f(x)$ на интервале $[1; 4]$ равна определенному интегралу $\int_1^4 f(x) dx$. По формуле Ньютона-Лейбница это $F(4) - F(1)$. $F(4) = -\frac{4^3}{3} + 2,5 \cdot 4^2 - 4 \cdot 4 + 10,5 = -\frac{64}{3} + 40 - 16 + 10,5 = -21,333 + 34,5 = 13,167$ $F(1) = -\frac{1}{3} + 2,5 - 4 + 10,5 = -0,333 + 9 = 8,667$ $S = 13,167 - 8,667 = 4,5$. **Ответ: 4,5** 7. Объем параллелепипеда $V_{par} = 21$. Пирамида $ABDA_1$ имеет основание $\triangle ABD$ (это половина основания параллелепипеда, площадь $S_{base}/2$) и ту же высоту, что и параллелепипед. Объем пирамиды: $V = \frac{1}{3} S_{base} H$. Объем параллелепипеда $V = S_{base} H = 21$. Объем пирамиды $V_{pyr} = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} S_{base} H = \frac{1}{6} V_{par} = 21/6 = 3,5$. **Ответ: 3,5** 8. Неравенство $\sqrt{x+5} < 3$. ОДЗ: $x+5 \ge 0 \Rightarrow x \ge -5$. Возведем в квадрат: $x + 5 < 9 \Rightarrow x < 4$. Объединяя: $-5 \le x < 4$. **Ответ: [-5; 4)**