Вычислите (27^(2/5) * 25^(1/6) * 2)^(5/6). (1 балл)

1. $(27^{2/5} \cdot 25^{1/6} \cdot 2)^{5/6} = ((3^3)^{2/5} \cdot (5^2)^{1/6} \cdot 2)^{5/6} = (3^{6/5} \cdot 5^{1/3} \cdot 2)^{5/6} = 3^{(6/5) \cdot (5/6)} \cdot 5^{(1/3) \cdot (5/6)} \cdot 2^{5/6} = 3^1 \cdot 5^{5/18} \cdot 2^{5/6} = 3 \cdot \sqrt[18]{5^5} \cdot \sqrt[6]{2^5} = 3 \cdot \sqrt[18]{3125} \cdot \sqrt[18]{2^{15}} = 3 \sqrt[18]{3125 \cdot 32768} = 3 \sqrt[18]{102400000}$. 2. $\lg(4x-2) = 5\lg2 - 3$. ОДЗ: $4x-2 > 0 \Rightarrow x > 0,5$. $\lg(4x-2) = \lg(2^5) - 3 = \lg(32) - 3 = \lg(32) - \lg(1000) = \lg(32/1000) = \lg(0,032)$. $4x-2 = 0,032 \Rightarrow 4x = 2,032 \Rightarrow x = 0,508$. (Подходит под ОДЗ). 3. $(1/27)^{2-x} > 9^{2x-1}$. $(3^{-3})^{2-x} > (3^2)^{2x-1} \Rightarrow 3^{-6+3x} > 3^{4x-2}$. $-6+3x > 4x-2 \Rightarrow -x > 4 \Rightarrow x < -4$. 4. $\cos^2x + \cos x = -\sin^2x$. $\cos^2x + \cos x = -(1-\cos^2x) \Rightarrow \cos^2x + \cos x = -1 + \cos^2x$. $\cos x = -1 \Rightarrow x = \pi + 2\pi k, k \in Z$. 5. $y = -x^3 + x^2 + 8x$. $y' = -3x^2 + 2x + 8$. $-3x^2 + 2x + 8 = 0 \Rightarrow 3x^2 - 2x - 8 = 0$. $D = 4 - 4(3)(-8) = 100$. $x_{1,2} = (2 \pm 10)/6$. $x_1 = 2, x_2 = -4/3$. Функция возрастает там, где $y' > 0$ (между корнями): $x \in [-4/3; 2]$. 6. $F(x) = \int (2x^2+3) dx = \frac{2x^3}{3} + 3x + C$. $-5 = \frac{2(-2)^3}{3} + 3(-2) + C \Rightarrow -5 = -16/3 - 6 + C$. $C = -5 + 16/3 + 6 = 1 + 16/3 = 19/3$. $F(x) = \frac{2x^3}{3} + 3x + \frac{19}{3}$. 7. $\sin^2\alpha = 1 - \cos^2\alpha = 1 - (\sqrt{15}/4)^2 = 1 - 15/16 = 1/16$. $\sin\alpha = \pm 1/4$. Так как $\alpha \in (0; 0,5\pi)$, $\sin\alpha > 0$. Ответ: $1/4$. 8. $d = 8 \Rightarrow r = 4$. $h = 3$. Образующая $l = \sqrt{r^2+h^2} = \sqrt{4^2+3^2} = \sqrt{16+9} = 5$. 9. Фигура ограничена $y=1+x^2$ и $y=2$. $1+x^2=2 \Rightarrow x^2=1 \Rightarrow x=\pm 1$. $S = \int_{-1}^{1} (2 - (1+x^2)) dx = \int_{-1}^{1} (1-x^2) dx = (x - x^3/3) |_{-1}^{1} = (1-1/3) - (-1+1/3) = 2/3 - (-2/3) = 4/3$. 10. $\sqrt{x+5} - \sqrt{x-3} = 2$. ОДЗ: $x \ge 3$. $\sqrt{x+5} = 2 + \sqrt{x-3}$. $x+5 = 4 + 4\sqrt{x-3} + x - 3$. $x+5 = x+1 + 4\sqrt{x-3}$. $4 = 4\sqrt{x-3} \Rightarrow 1 = \sqrt{x-3} \Rightarrow 1 = x-3 \Rightarrow x=4$.