B1. Найдите значение выражения: 11^4 * 5^4 : 55^3

Привет! Давай разберем задания из твоей контрольной работы. ### ЧАСТЬ 1 **B1. Найдите значение выражения:** $11^4 \cdot 5^4 : 55^3$ $11^4 \cdot 5^4 = (11 \cdot 5)^4 = 55^4$ $55^4 : 55^3 = 55^{4-3} = 55^1 = 55$ **Ответ: 55** **B2. Найдите значение выражения:** $\sqrt{145^2 - 144^2}$ Используем формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$: $\sqrt{(145-144)(145+144)} = \sqrt{1 \cdot 289} = \sqrt{289} = 17$ **Ответ: 17** **B3. Найдите значение выражения:** $6 - 4^0 \cdot 18$ Любое число (кроме нуля) в нулевой степени равно 1: $4^0 = 1$. $6 - 1 \cdot 18 = 6 - 18 = -12$ **Ответ: -12** **B4. Вероятность:** Всего билетов 20, в 6 из них есть вопрос по оптике. Вероятность того, что попадется вопрос по оптике: $P = 6/20 = 0,3$. Вероятность, что **не** попадется: $1 - 0,3 = 0,7$. **Ответ: 0,7** **B5. Найдите значение производной $f(x) = -\frac{2}{3}x^3 - 4x^2 - 12$ при $x = 1$.** $f'(x) = -\frac{2}{3} \cdot 3x^2 - 4 \cdot 2x - 0 = -2x^2 - 8x$ $f'(1) = -2(1)^2 - 8(1) = -2 - 8 = -10$ **Ответ: -10** **B6. Решите уравнение:** $2^{5-x} = 64$ $64 = 2^6$, значит $5 - x = 6$, откуда $-x = 1$, $x = -1$. **Ответ: -1** **B7. Найдите корень уравнения:** $\log_2(x+7) = 2$ $x+7 = 2^2$, $x+7 = 4$, $x = 4 - 7$, $x = -3$. **Ответ: -3** **B8. Найдите значение выражения:** $\frac{6 \sin 19^\circ \cdot \cos 19^\circ}{\sin 38^\circ}$ Используем формулу синуса двойного угла $\sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha$. Значит, $2 \sin 19^\circ \cos 19^\circ = \sin 38^\circ$. Тогда выражение: $\frac{3 \cdot (2 \sin 19^\circ \cos 19^\circ)}{\sin 38^\circ} = \frac{3 \sin 38^\circ}{\sin 38^\circ} = 3$. **Ответ: 3** **B9. Прямая $y = 1 - x$ параллельна касательной к графику функции $y = 2x^2 - 5x - 4$. Найдите абсциссу точки касания.** У параллельных прямых коэффициенты наклона равны. У прямой $y = -1x + 1$ наклон $k = -1$. Значит, производная функции в точке касания равна -1: $y' = 4x - 5$ $4x - 5 = -1$ $4x = 4$ $x = 1$ **Ответ: 1** **B10. Площадь большого круга шара равна 9. Найдите площадь поверхности шара.** Площадь круга $S_{кр} = \pi R^2 = 9$. Площадь поверхности шара $S_{сф} = 4 \pi R^2$. $S_{сф} = 4 \cdot 9 = 36$. **Ответ: 36** **B11. Найдите значение выражения:** $(-\frac{2}{5} + 6 \frac{1}{5}) \cdot 2,4$ $(-0,4 + 6,2) \cdot 2,4 = 5,8 \cdot 2,4 = 13,92$ **Ответ: 13,92** **B12. Скорость тела через 2 секунды:** $S(t) = 5t^2 + 2t$. Скорость $v(t) = S'(t) = 10t + 2$. Через 2 секунды: $v(2) = 10 \cdot 2 + 2 = 22$. **Ответ: 22 м/с** ### ЧАСТЬ 2 **C1. Решите уравнение $\text{tg } x + \text{ctg } x = -2$.** Это уравнение вида $\text{tg } x + \frac{1}{\text{tg } x} = -2$. Пусть $\text{tg } x = t$, тогда $t + 1/t = -2 \Rightarrow t^2 + 2t + 1 = 0 \Rightarrow (t+1)^2 = 0 \Rightarrow t = -1$. $\text{tg } x = -1$, значит $x = -\pi/4 + \pi k$. Корни на промежутке $[-3\pi; -\pi]$: $k = 0 \Rightarrow x = -\pi/4$ (не входит) $k = -1 \Rightarrow x = -\pi/4 - \pi = -5\pi/4$ (входит) $k = -2 \Rightarrow x = -\pi/4 - 2\pi = -9\pi/4$ (входит) $k = -3 \Rightarrow x = -13\pi/4$ (не входит, т.к. $-3,25\pi < -3\pi$) **Ответ: $-5\pi/4, -9\pi/4$** **C2. Решите неравенство $\frac{x^2+2x+2}{\sqrt{1-x^2}} \ge 0$.** Знаменатель всегда положителен при условии $-1 < x < 1$. Числитель $x^2+2x+2 = (x+1)^2 + 1$ всегда $>0$. Неравенство выполняется при всех $x$, входящих в область допустимых значений (ОДЗ) корня. $1-x^2 > 0 \Rightarrow x^2 < 1 \Rightarrow x \in (-1; 1)$. **Ответ: $x \in (-1; 1)$** **C3. Решите неравенство $2^{\lg(x^2-x)} < 0,125$.** $0,125 = 1/8 = 2^{-3}$. $2^{\lg(x^2-x)} < 2^{-3} \Rightarrow \lg(x^2-x) < -3$. $x^2 - x < 10^{-3} = 0,001$. Также ОДЗ: $x^2-x > 0$. $x^2 - x - 0,001 < 0$. Корни уравнения $x^2 - x - 0,001 = 0$ найдем через дискриминант $D = 1 - 4(1)(-0,001) = 1 + 0,004 = 1,004$. $x = \frac{1 \pm \sqrt{1,004}}{2} \approx \frac{1 \pm 1,002}{2}$. $x_1 \approx 1,001, x_2 \approx -0,001$. Решение неравенства $x^2-x-0,001 < 0$ это $x \in (-0,001; 1,001)$. Учитывая ОДЗ ($x<0$ или $x>1$), получаем $x \in (-0,001; 0) \cup (1; 1,001)$. **C6. Задача про цилиндры:** Пусть $V_1 = \pi R^2 H = 78$. $H_2 = 3H$, $R_2 = R/2$. $V_2 = \pi (R/2)^2 \cdot (3H) = \pi (R^2/4) \cdot 3H = \frac{3}{4} \pi R^2 H = \frac{3}{4} V_1$. $V_2 = \frac{3}{4} \cdot 78 = 3 \cdot 19,5 = 58,5$. **Ответ: 58,5**