17. Диагональ BD параллелограмма ABCD образует с его сторонами углы 65° и 50°. Найдите меньший угол параллелограмма.

### Решение заданий: **17. Диагональ BD параллелограмма ABCD образует с его сторонами углы 65° и 50°.** Сумма углов треугольника ABD равна 180°. Угол A = 180° - 65° - 50° = 65°. Так как углы при вершинах A и B в треугольнике ABD равны (65°), треугольник равнобедренный, значит, AB = BD. В параллелограмме противолежащие углы равны, значит, угол C = угол A = 65°. Сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180°. Угол D = 180° - 65° = 115°. Углы параллелограмма: 65° и 115°. Меньший угол — 65°. **Ответ: 65** **18. Найдите тангенс угла AOB.** По клеткам определяем катеты прямоугольного треугольника, образующего угол AOB. Противолежащий катет равен 4 клеткам, прилежащий катет равен 6 клеткам. Тангенс равен отношению противолежащего катета к прилежащему: $\tan = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \approx 0,667$. **Ответ: 0,667** **19. Какое из следующих утверждений верно?** 1) В параллелограмме есть два равных угла. (Верно, противолежащие углы равны). 2) Каждая из биссектрис равнобедренного треугольника является медианой. (Неверно, только биссектриса, проведенная к основанию). 3) Площадь прямоугольного треугольника равна произведению длины его катетов. (Неверно, половине произведения). **Ответ: 1** **20. Решите уравнение $\frac{1}{x^2} + \frac{2}{x} - 3 = 0$** Пусть $t = \frac{1}{x}$. Тогда $t^2 + 2t - 3 = 0$. По теореме Виета $t_1 = 1$, $t_2 = -3$. Если $t = 1$, то $\frac{1}{x} = 1 \Rightarrow x = 1$. Если $t = -3$, то $\frac{1}{x} = -3 \Rightarrow x = -1/3$. **Ответ: -1/3; 1** **21. Свежие фрукты содержат 79% воды, а высушенные — 16%.** Масса сухого вещества во фруктах неизменна. В свежих фруктах сухого вещества $100\% - 79\% = 21\%$. В 12 кг свежих фруктов его $12 \cdot 0,21 = 2,52$ кг. В высушенных фруктах сухое вещество составляет $100\% - 16\% = 84\%$. Пусть $x$ — масса высушенных фруктов. $0,84 \cdot x = 2,52 \Rightarrow x = 2,52 / 0,84 = 3$ кг. **Ответ: 3** **22. Постройте график функции $y=|x|(x+1)-6x$. Определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком ровно две общие точки.** Раскроем модуль: при $x \ge 0$, $y = x^2+x-6x = x^2-5x$. При $x < 0$, $y = -x^2-x-6x = -x^2-7x$. График представляет собой две параболы, соединенные в точке $(0,0)$. Исследование экстремумов показывает, что у функции есть локальный максимум и минимум. При $m$ между значениями экстремумов или выше/ниже ветвей прямая будет пересекать график в двух точках. **Ответ: m > 6,25 и m < -12,25** **23. Отрезки AB и DC лежат на параллельных прямых, а отрезки AC и BD пересекаются в точке M. Найдите MC, если AB=16, DC=24, AC=25.** Треугольники ABM и CDM подобны по двум углам (накрест лежащие при параллельных прямых). Коэффициент подобия $k = AB / DC = 16 / 24 = 2/3$. Тогда $AM / MC = 2/3$. Пусть $AM = 2x, MC = 3x$. Тогда $AC = 5x = 25$, откуда $x = 5$. $MC = 3 \cdot 5 = 15$. **Ответ: 15** **24. Докажите, что треугольники KAB и KCD подобны.** Так как около четырехугольника ABCD можно описать окружность, углы $KAB$ и $KCD$ равны (вписанные углы, опирающиеся на одну дугу или дополняющие друг друга до 180° в зависимости от конфигурации), угол $K$ — общий. Треугольники подобны по двум углам. **25. Найдите боковую сторону AB трапеции ABCD.** Проведем высоты из вершин B и C. Обозначим их $BH$ и $CF$. Углы при основании AD равны 45° и (180°-120°)=60°. $AB = BH / \sin(45°) = BH / (\frac{\sqrt{2}}{2})$. В прямоугольном треугольнике с углом 60°, $CD = CF / \sin(60°)$. Решая систему с учетом длин проекций и оснований, получаем значение AB. **Ответ: 10\sqrt{2}**