1. Не выполняя построения, установите, принадлежит ли графику функции y = tg(x - \pi/4) + 1 точка:

### 1. Принадлежность точек Подставим координаты точек в уравнение $y = \tan(x - \frac{\pi}{4}) + 1$. а) $M(\pi; 0)$: $y = \tan(\pi - \frac{\pi}{4}) + 1 = \tan(\frac{3\pi}{4}) + 1 = -1 + 1 = 0$. Точка $M$ принадлежит графику. б) $P(0; -1)$: $y = \tan(0 - \frac{\pi}{4}) + 1 = \tan(-\frac{\pi}{4}) + 1 = -1 + 1 = 0 \neq -1$. Точка $P$ не принадлежит графику. ### 2. Четность функций a) $f(x) = \frac{\sin 2x}{x^2}$. $f(-x) = \frac{\sin(2(-x))}{(-x)^2} = \frac{-\sin 2x}{x^2} = -f(x)$. Функция нечетная. б) $f(x) = \tan x + 3 + x^5$. $f(-x) = \tan(-x) + 3 + (-x)^5 = -\tan x + 3 - x^5$. Так как $f(-x) \neq f(x)$ и $f(-x) \neq -f(x)$, функция ни четная, ни нечетная. ### 3. Исследование функции $y = \sin(x + \frac{\pi}{3})$ Синус возрастает на интервале $(-\frac{\pi}{2} + 2\pi k; \frac{\pi}{2} + 2\pi k)$. Решим неравенство: $-\frac{\pi}{2} + 2\pi k < x + \frac{\pi}{3} < \frac{\pi}{2} + 2\pi k$ $-\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{3} + 2\pi k < x < \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{3} + 2\pi k$ $-\frac{5\pi}{6} + 2\pi k < x < \frac{\pi}{6} + 2\pi k$. **Ответ:** $(-\frac{5\pi}{6} + 2\pi k; \frac{\pi}{6} + 2\pi k)$. ### 4. Неравенство $\sin x + \frac{1}{2} \geq 0$ $\sin x \geq -\frac{1}{2}$. На единичной окружности значения синуса больше или равны $-1/2$ на дуге от $-\frac{\pi}{6}$ до $\frac{7\pi}{6}$. **Ответ:** $[-\frac{\pi}{6} + 2\pi k; \frac{7\pi}{6} + 2\pi k]$.