Найдите все пары простых чисел, разность квадратов которых является простым числом.

Question

Вопрос:

Найдите все пары простых чисел, разность квадратов которых является простым числом.

Фотография

Ответ ассистента

Accepted Answer

Пусть $p$ и $q$ — простые числа, а их разность квадратов $p^2 - q^2$ равна простому числу $r$. Разложим выражение на множители: $p^2 - q^2 = (p - q)(p + q) = r$ Так как $r$ — простое число, а $p$ и $q$ — натуральные (простые) числа, то один из множителей должен быть равен 1, а второй — самому числу $r$. Так как $p+q > p-q$, то единственная возможность: $p - q = 1$ $p + q = r$ Разность двух простых чисел равна 1 только в одном случае: если это числа 3 и 2 (так как это единственные простые числа, отличающиеся на 1). Значит, $p = 3$, $q = 2$. Проверим: $p^2 - q^2 = 3^2 - 2^2 = 9 - 4 = 5$. Число 5 является простым числом. Других решений нет, так как если оба числа нечетные, их разность четна и больше 2 (не может быть простым), а если одно из них 2, то второе должно быть 3, чтобы разность была 1. **Ответ:** (3; 2).

Найдите все пары простых чисел, разность квадратов которых является простым числом.

Ответ ассистента

Другие решения