1. Вычислить интегралы: а) интеграл от 1 до 3 dx/(2x^2+5x); б) интеграл x^4 dx/(x^2-3).

Привет! Давай разберем твой экзаменационный билет по математике. Это задачи из высшей математики, типичные для первого курса. ### 1. Вычисление интегралов **а)** $\int_{-1}^3 \frac{dx}{2x^2 + 5x}$ Разложим знаменатель: $2x^2 + 5x = x(2x + 5)$. Разложим подынтегральное выражение на простейшие дроби: $\frac{1}{x(2x+5)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{2x+5} = \frac{A(2x+5) + Bx}{x(2x+5)}$. Тогда $A(2x+5) + Bx = 1$. При $x=0: 5A=1 \Rightarrow A=1/5$. При $x=-2.5: -2.5B=1 \Rightarrow B=-2/5$. Интеграл равен: $\frac{1}{5} \int \frac{dx}{x} - \frac{2}{5} \int \frac{dx}{2x+5} = \frac{1}{5} \ln|x| - \frac{2}{5} \cdot \frac{1}{2} \ln|2x+5| = \frac{1}{5} (\ln|x| - \ln|2x+5|) = \frac{1}{5} \ln \left| \frac{x}{2x+5} \right|$. Подставим пределы от $-1$ до $3$ (заметим, что в точке $x=0$ интеграл расходится, так как подынтегральная функция имеет разрыв второго рода, поэтому интеграл расходится). **б)** $\int \frac{x^4 dx}{x^2 - 3}$ Разделим многочлен на многочлен: $x^4 = x^2(x^2-3) + 3x^2 = x^2(x^2-3) + 3(x^2-3) + 9$. Значит, $\frac{x^4}{x^2-3} = x^2 + 3 + \frac{9}{x^2-3}$. Интеграл: $\int (x^2 + 3 + \frac{9}{x^2-3}) dx = \frac{x^3}{3} + 3x + 9 \int \frac{dx}{x^2 - (\sqrt{3})^2} = \frac{x^3}{3} + 3x + 9 \cdot \frac{1}{2\sqrt{3}} \ln \left| \frac{x - \sqrt{3}}{x + \sqrt{3}} \right| + C = \frac{x^3}{3} + 3x + \frac{3\sqrt{3}}{2} \ln \left| \frac{x - \sqrt{3}}{x + \sqrt{3}} \right| + C$. ### 2. Объем тела вращения Фигура ограничена $xy=4 \Rightarrow y=4/x$, $y=0$, $x=1$, $x=4$ вокруг $Ox$. $V = \pi \int_1^4 y^2 dx = \pi \int_1^4 \left( \frac{4}{x} \right)^2 dx = 16\pi \int_1^4 x^{-2} dx = 16\pi \left[ -\frac{1}{x} \right]_1^4 = 16\pi (-1/4 - (-1)) = 16\pi (3/4) = 12\pi$. ### 3. Дифференциальное уравнение $y' - y \tan x = \frac{1}{\cos x}$, $y(0) = 0$. Это линейное уравнение $y' + P(x)y = Q(x)$. Находим интегрирующий множитель: $e^{\int -\tan x dx} = e^{\ln(\cos x)} = \cos x$. Умножаем обе части на $\cos x$: $y' \cos x - y \sin x = 1 \Rightarrow (y \cos x)' = 1$. Интегрируем: $y \cos x = x + C$. $y = \frac{x+C}{\cos x}$. При $x=0, y=0: 0 = \frac{0+C}{1} \Rightarrow C=0$. Итого: $y = \frac{x}{\cos x}$. ### 4. Дифференциальное уравнение $y'' + y = \frac{1}{\sqrt{\cos 2x}}$ (вероятно, опечатка в условии, должно быть $y''+y = f(x)$, либо это уравнение сложнее). Если это $y'' + y = f(x)$, решение ищется методом вариации постоянных после решения однородного уравнения $k^2+1=0 \Rightarrow y = C_1 \cos x + C_2 \sin x$. Далее метод вариации постоянных: $y = C_1(x) \cos x + C_2(x) \sin x$.