1. Вычислить интегралы:

Привет! Давай разберем эти задачи по высшей математике. ### 1. Вычислить интегралы: a) $\int x e^{-x} dx$ Воспользуемся методом интегрирования по частям: $\int u dv = uv - \int v du$. Пусть $u = x$, $dv = e^{-x} dx$. Тогда $du = dx$, $v = -e^{-x}$. $\int x e^{-x} dx = -x e^{-x} - \int (-e^{-x}) dx = -x e^{-x} + \int e^{-x} dx = -x e^{-x} - e^{-x} + C = -e^{-x}(x+1) + C$. б) $\int_2^4 \frac{dx}{\sqrt{2+x-x^2}}$ Преобразуем квадратный трехчлен в знаменателе: $-(x^2 - x - 2) = -( (x - 0.5)^2 - 0.25 - 2 ) = -( (x - 0.5)^2 - 2.25 ) = 2.25 - (x - 0.5)^2 = (1.5)^2 - (x - 0.5)^2$. Интеграл принимает вид: $\int_2^4 \frac{dx}{\sqrt{1.5^2 - (x-0.5)^2}} = \arcsin\left(\frac{x-0.5}{1.5}\right) \Big|_2^4 = \arcsin\left(\frac{3.5}{1.5}\right) - \arcsin\left(\frac{1.5}{1.5}\right)$. Так как $\arcsin(3.5/1.5) = \arcsin(7/3)$ не существует в действительных числах (аргумент $>1$), интеграл расходится на этом отрезке или содержит опечатку в пределах. ### 2. Вычислить площадь фигуры Фигура ограничена $y = 0.25x^2$ и $y = 3x - 0.5x^2$. Найдем точки пересечения: $0.25x^2 = 3x - 0.5x^2$ $0.75x^2 - 3x = 0$ $0.75x(x - 4) = 0$ Точки: $x_1 = 0$, $x_2 = 4$. Площадь $S = \int_0^4 ((3x - 0.5x^2) - 0.25x^2) dx = \int_0^4 (3x - 0.75x^2) dx = \left[ \frac{3x^2}{2} - \frac{0.75x^3}{3} \right]_0^4 = \left[ 1.5x^2 - 0.25x^3 \right]_0^4 = (1.5 \cdot 16) - (0.25 \cdot 64) = 24 - 16 = 8$. :::div .chart-container @chart-1::: ### 3. Дифференциальное уравнение $x^2 + y^2 - 2xyy' = 0$ Это уравнение однородное. Пусть $y = tx$, тогда $y' = t'x + t$. $x^2 + t^2x^2 - 2x(tx)(t'x + t) = 0$ $1 + t^2 - 2t(t'x + t) = 0$ $1 + t^2 - 2tt'x - 2t^2 = 0$ $1 - t^2 = 2tt'x$ $\frac{2t}{1-t^2} dt = \frac{dx}{x}$ Интегрируем: $-\ln|1-t^2| = \ln|x| + C$ $\ln\left|\frac{1}{1-t^2}\right| = \ln|x| + C$ $\frac{1}{1 - (y/x)^2} = Cx \Rightarrow \frac{x^2}{x^2 - y^2} = Cx \Rightarrow x^2 = C(x^2 - y^2)$. ### 4. Дифференциальное уравнение $y'' - 4y' + 4y = 0$ Характеристическое уравнение: $k^2 - 4k + 4 = 0$, $(k-2)^2 = 0$, $k_{1,2} = 2$. Общее решение: $y = C_1 e^{2x} + C_2 x e^{2x}$.