22. Тип 22 № 333129 i Постройте график функции

### Решение задания 22 Функция $y = \begin{cases} x^2 + 2x + 3, & x \ge -3 \\ x + 9, & x < -3 \end{cases}$ 1. При $x \ge -3$: это парабола $y = x^2 + 2x + 3$. Вершина параболы: $x_0 = -b/2a = -2/2 = -1$. Значение функции в вершине: $y(-1) = (-1)^2 + 2(-1) + 3 = 1 - 2 + 3 = 2$. Точка $(-1; 2)$. Для построения возьмем точки: $(-3; 6), (-2; 3), (-1; 2), (0; 3), (1; 6)$. 2. При $x < -3$: это прямая $y = x + 9$. При $x = -3$, $y = 6$. Это «выколотая» точка $(-3; 6)$, но так как в первом случае при $x = -3$ значение тоже $6$, точка закрашена. Прямая $y = m$ имеет ровно две общие точки с графиком, когда она проходит через вершину параболы ($y=2$) и выше, но до точки «излома» при $x=-3$, где $y=6$. При $m=6$ прямая касается точки стыка и пересекает ветвь параболы, давая две точки. При $m > 6$ прямая пересекает только одну ветвь параболы (одна точка). Ответ: $m \in [2; 6)$ :::div .chart-container @chart-1::: ### Решение задания 23 Дано: $\triangle ABC$, $\angle C = 90^\circ$, $r = 3$, $AB = c = 15$. 1. Радиус вписанной окружности прямоугольного треугольника вычисляется по формуле: $r = \frac{a + b - c}{2}$. 2. Подставим известные значения: $3 = \frac{a + b - 15}{2}$ $6 = a + b - 15$ $a + b = 21$ 3. По теореме Пифагора $a^2 + b^2 = c^2 = 15^2 = 225$. 4. Выразим $b = 21 - a$ и подставим: $a^2 + (21 - a)^2 = 225$ $a^2 + 441 - 42a + a^2 = 225$ $2a^2 - 42a + 216 = 0$ $a^2 - 21a + 108 = 0$ Корни уравнения $a_1 = 9$, $a_2 = 12$. Значит, катеты равны 9 и 12. 5. Площадь $S = \frac{1}{2}ab = \frac{1}{2} \cdot 9 \cdot 12 = 54$. Ответ: 54