Билет №10 1. Решите уравнение: 9(3x + 7) = 4(10x - 33);

Привет! Давай разберем задания из билетов. ### Билет №10 1. $9(3x+7) = 4(10x-33) \Rightarrow 27x + 63 = 40x - 132 \Rightarrow 27x - 40x = -132 - 63 \Rightarrow -13x = -195 \Rightarrow x = 15$. 2. $f(x) = \text{tg}x - 2\sin x$. Производная: $f'(x) = \frac{1}{\cos^2 x} - 2\cos x$. В точке $x = -\frac{\pi}{4}$: $f'(-\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{(\cos(-\frac{\pi}{4}))^2} - 2\cos(-\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{(\frac{\sqrt{2}}{2})^2} - 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{0.5} - \sqrt{2} = 2 - \sqrt{2}$. 3. Площадь: $\int_{-2}^{2} (4-x^2) dx = (4x - \frac{x^3}{3})|_{-2}^{2} = (8 - \frac{8}{3}) - (-8 + \frac{8}{3}) = \frac{16}{3} + \frac{16}{3} = \frac{32}{3} = 10\frac{2}{3}$. 4. Параллелепипед — многогранник с 6 гранями (параллелограммы). Куб — частный вид, все грани квадраты, ребра равны. 5. Высота пирамиды $H$, половина диагонали основания $d/2 = \frac{10\sqrt{2}}{2} = 5\sqrt{2}$. $H^2 = 13^2 - (5\sqrt{2})^2 = 169 - 50 = 119 \Rightarrow H = \sqrt{119}$ см. ### Билет №11 1. $\sin x = 0.5 \Rightarrow x = (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$. 2. Скорость $v(t) = S'(t) = 5 - t$. При $t = 3$: $v(3) = 5 - 3 = 2$ м/с. 3. Площадь: $\int_{0}^{3} x^2 dx = \frac{x^3}{3} |_{0}^{3} = \frac{27}{3} - 0 = 9$. 4. Куб имеет центр симметрии, 3 плоскости симметрии (параллельно граням) и 6 диагональных плоскостей симметрии. 5. Вращение треугольника (катеты 3 и 4, вокруг 4) дает конус. Радиус основания $R = 3$, высота $h = 4$, образующая $l = \sqrt{3^2+4^2} = 5$. $S_{полн} = \pi R(R+l) = \pi \cdot 3(3+5) = 24\pi$. ### Билет №12 1. $x-1 = \sqrt{x+5}$. ОДЗ: $x \ge 1$, $x+5 \ge 0 \Rightarrow x \ge 1$. Возведем в квадрат: $x^2 - 2x + 1 = x + 5 \Rightarrow x^2 - 3x - 4 = 0$. Корни: $x_1 = 4$ (подходит), $x_2 = -1$ (не подходит). 2. $f(x) = 3x^3 - 0.5$. $f'(x) = 9x^2$. В точке $x = -1$: $f'(-1) = 9(-1)^2 = 9$. 3. Площадь: $\int_{0}^{2} 3x^2 dx = x^3 |_{0}^{2} = 8 - 0 = 8$. 4. Правильные многогранники: тетраэдр (4 грани), куб (6), октаэдр (8), додекаэдр (12), икасаэдр (20). 5. Вращение прямоугольника 6x10 вокруг стороны 10 дает цилиндр: $R = 6, H = 10$. Объем $V = \pi R^2 H = \pi \cdot 36 \cdot 10 = 360\pi$.