Билет №13. 1. Решите уравнение: √x = 2 - x.

Привет! Давай разберем задания из билетов по очереди. ### Билет №13 1. $\sqrt{x} = 2 - x$. Возведем в квадрат (при условии $x \le 2$): $x = 4 - 4x + x^2 \Rightarrow x^2 - 5x + 4 = 0$. Корни: $x_1 = 4$ (не подходит), $x_2 = 1$. Ответ: $1$. 2. $f'(x) = 2x - 3$. При $x = 2$: $f'(2) = 2(2) - 3 = 1$. 3. $\int_0^3 |x^2 - 1| dx$. Площадь криволинейной трапеции: $\int_0^1 (0 - (x^2 - 1)) dx + \int_1^3 (x^2 - 1) dx = \int_0^1 (1 - x^2) dx + \int_1^3 (x^2 - 1) dx = [x - \frac{x^3}{3}]_0^1 + [\frac{x^3}{3} - x]_1^3 = (1 - \frac{1}{3}) + (9 - 3 - (\frac{1}{3} - 1)) = \frac{2}{3} + 6 + \frac{2}{3} = 7\frac{1}{3}$. 4. Теоретический вопрос. Цилиндр — это тело, полученное вращением прямоугольника вокруг стороны. Основания — круги, боковая поверхность — развертка в прямоугольник $2\pi Rh$. 5. $S_{куба} = 6a^2 = 24 \Rightarrow a^2 = 4 \Rightarrow a = 2$. Диагональ $d = a\sqrt{3} = 2\sqrt{3}$. ### Билет №14 1. $(\frac{3}{7})^{3x+1} = ((\frac{3}{7})^{-1})^{5x-3} \Rightarrow 3x + 1 = -5x + 3 \Rightarrow 8x = 2 \Rightarrow x = 0,25$. 2. $f'(x) = 6x^2 - 6x - 4$. В точке $x_0 = -2$: $f'(-2) = 6(4) - 6(-2) - 4 = 24 + 12 - 4 = 32$. 3. $\int_1^2 x^2 dx = [\frac{x^3}{3}]_1^2 = \frac{8}{3} - \frac{1}{3} = \frac{7}{3} = 2\frac{1}{3}$. 4. Теоретический вопрос. Шар — тело вращения полукруга. Сечение шара плоскостью — всегда круг. 5. $r = 5$, $l = 13$. $h = \sqrt{l^2 - r^2} = \sqrt{169 - 25} = 12$. $V = \frac{1}{3}\pi r^2 h = \frac{1}{3}\pi (25)(12) = 100\pi$. ### Билет №15 1. Как в билете 13, ответ: $1$. 2. $f'(x) = 1 - \frac{1}{x}$. В точке $x_0 = 3$: $f'(3) = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$. 3. $\int_1^2 x^3 dx = [\frac{x^4}{4}]_1^2 = \frac{16}{4} - \frac{1}{4} = 3,75$. 4. Теоретический вопрос. Пирамида — многогранник с вершиной и основанием-многоугольником. 5. $h = 8$, $V = 24$. $V = \frac{1}{3}\pi r^2 h \Rightarrow 24 = \frac{1}{3}\pi r^2 (8) \Rightarrow 72 = 8\pi r^2 \Rightarrow r^2 = \frac{9}{\pi}$. $l = \sqrt{r^2 + h^2} = \sqrt{\frac{9}{\pi} + 64}$. $S_{полн} = \pi r (r + l) = \pi \cdot \sqrt{\frac{9}{\pi}} \cdot (\sqrt{\frac{9}{\pi}} + \sqrt{\frac{9}{\pi} + 64}) = 3\sqrt{\pi} (\frac{3}{\sqrt{\pi}} + \sqrt{\frac{9 + 64\pi}{\pi}}) = 9 + 3\sqrt{9 + 64\pi}$.