Задание 1. Найдите производную функций:

Привет! Давай разберем твои задачи. ### Задание 1. Производные a) $f(x) = 5x^4 + x^2 - 7$ $f'(x) = 20x^3 + 2x$ б) $f(x) = 6\cos x + 6$ $f'(x) = -6\sin x$ в) $f(x) = (x+5)(2x-4) = 2x^2 - 4x + 10x - 20 = 2x^2 + 6x - 20$ $f'(x) = 4x + 6$ ### Задание 2. Уравнение касательной Уравнение: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$. $x_0 = 1, f(1) = 2(1)^2 - 1 + 3 = 4$. $f'(x) = 4x - 1 \Rightarrow f'(1) = 4(1) - 1 = 3$. Подставляем: $y = 4 + 3(x - 1) = 4 + 3x - 3 = 3x + 1$. **Ответ: $y = 3x + 1$.** ### Задание 3. Площадь фигуры $S = \int_1^2 2x^2 dx = [\frac{2}{3}x^3]_1^2 = \frac{2}{3}(8 - 1) = \frac{14}{3} = 4\frac{2}{3}$. ### Задание 4. Уравнения a) $\text{ctg } x - 1/2 = 0 \Rightarrow \text{ctg } x = 0.5$. $x = \text{arcctg } 0.5 + \pi n, n \in \mathbb{Z}$. б) $\log_4 \frac{x+1}{3} = \log_4 \frac{-3x+5}{2}$. ОДЗ: $\frac{x+1}{3} > 0 \Rightarrow x > -1$; $\frac{-3x+5}{2} > 0 \Rightarrow x < \frac{5}{3}$. $\frac{x+1}{3} = \frac{-3x+5}{2} \Rightarrow 2(x+1) = 3(-3x+5) \Rightarrow 2x+2 = -9x+15 \Rightarrow 11x = 13 \Rightarrow x = \frac{13}{11} \approx 1.18$. Условие ОДЗ выполняется. в) $4^{x^2 - 4x - 2} = 64 = 4^3$. $x^2 - 4x - 2 = 3 \Rightarrow x^2 - 4x - 5 = 0$. Корни: $(x-5)(x+1) = 0 \Rightarrow x_1 = 5, x_2 = -1$. ### Задание 5. Неравенство $\frac{2x+8x^2}{2x-1} < 0 \Rightarrow \frac{2x(1+4x)}{2x-1} < 0$. Нули: $x = 0, x = -0.25, x = 0.5$. Интервалы: $(-\infty; -0.25) \cup (0; 0.5)$. ### Задание 6. Исследование функции График показывает функцию $y=f(x)$: 1) Область определения: $D(f) = [-3; 6]$. 2) Множество значений: $E(f) = [-1; 2]$. 3) Нули функции: $x = -2, 2.5, 5$. 4) Промежутки знакопостоянства: $f(x)>0$ на $(-2; 2.5) \cup (5; 6]$, $f(x)<0$ на $[-3; -2) \cup (2.5; 5)$. 5) Монотонность: возрастает на $[-0.5; 2]$, убывает на $[-3; -0.5]$ и $[2; 4.5]$. 6) Экстремумы: $\max$ в точке $x=2$ ($y=2$), $\min$ в $x=-0.5$ ($y=0.5$) и $x=4.5$ ($y=-1$). ### Задание 7. Параллелепипед Площадь полной поверхности $S = 2(S_1 + S_2 + S_3)$. $S = 2(4 + 2 + 3) = 2(9) = 18 \text{ см}^2$. ### Задание 8. Конус Образующая $l=5$, радиус $r=3$. Высота $h = \sqrt{l^2 - r^2} = \sqrt{25 - 9} = \sqrt{16} = 4 \text{ м}$.