На рисунке изображен график производной f(x), определенной на интервале (-6;5).

### Решение заданий: **9. Наименьшее значение функции** На рисунке график производной $f'(x)$. Функция $f(x)$ принимает наименьшее значение на отрезке $[-5; -1]$, когда производная $f'(x)$ меняет знак с минуса на плюс (точка минимума) или на границах отрезка. Однако, так как на всём отрезке $[-5; -1]$ график $f'(x)$ лежит выше оси $OX$ (кроме точки касания в $-6$, которая вне диапазона), функция $f(x)$ возрастает на всем этом отрезке. Значит, наименьшее значение достигается в левой точке. **Ответ: -5** **10. Физика: линза** Дано: $f=40$, $\frac{1}{d_1} + \frac{1}{d_2} = \frac{1}{40}$, где $40 \le d_1 \le 60$ и $200 \le d_2 \le 240$. Выразим $d_1$: $\frac{1}{d_1} = \frac{1}{40} - \frac{1}{d_2} = \frac{d_2 - 40}{40d_2}$. $d_1 = \frac{40d_2}{d_2 - 40}$. Чтобы $d_1$ было наименьшим, нужно чтобы дробь была минимальной. Исследуем функцию $g(d_2) = \frac{40d_2}{d_2-40}$. Производная $g'(d_2) = \frac{40(d_2-40) - 40d_2}{(d_2-40)^2} = \frac{-1600}{(d_2-40)^2} < 0$. Функция убывает, значит минимум $d_1$ будет при максимально возможном $d_2 = 240$. $d_1 = \frac{40 \cdot 240}{240 - 40} = \frac{9600}{200} = 48$. **Ответ: 48** **11. Значение выражения** $\frac{(y^{-1/2})^2}{(y^{4/7})^{-7}} = \frac{y^{-1}}{y^{-4}} = y^{-1 - (-4)} = y^3$. При $y=5$: $5^3 = 125$. **Ответ: 125** **12. Уравнение** $2 \sin\frac{x}{8} = 1 \Rightarrow \sin\frac{x}{8} = \frac{1}{2}$. $\frac{x}{8} = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n$. $x = 8((-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n) = (-1)^n \frac{4\pi}{3} + 8\pi n$. **Ответ: $(-1)^n \frac{4\pi}{3} + 8\pi n$** **13. Неравенство** $8^{x^2-5x} < (1/8)^6 \Rightarrow 8^{x^2-5x} < 8^{-6}$. $x^2 - 5x < -6 \Rightarrow x^2 - 5x + 6 < 0$. Корни уравнения $x^2-5x+6=0$ по теореме Виета: $2$ и $3$. Парабола ветвями вверх, меньше нуля между корнями. **Ответ: (2; 3)** **14. Физика: скорость** $v(t) = x'(t) = (-t^4 + 6t^3 + 5t + 23)' = -4t^3 + 18t^2 + 5$. При $t=3$: $v(3) = -4(27) + 18(9) + 5 = -108 + 162 + 5 = 59$. **Ответ: 59** **15. Интеграл** $\int_{-2}^{-1} (5x^4 - 4x^3 - 3x^2 + 2x^{-2}) dx = [x^5 - x^4 - x^3 - 2x^{-1}]_{-2}^{-1}$. Значение в -1: $(-1)^5 - (-1)^4 - (-1)^3 - 2/(-1) = -1 - 1 + 1 + 2 = 1$. Значение в -2: $(-2)^5 - (-2)^4 - (-2)^3 - 2/(-2) = -32 - 16 + 8 + 1 = -39$. $1 - (-39) = 40$. **Ответ: 40** **16. Пирамида** В правильной пирамиде основание - квадрат. $SO$ - высота. $O$ - центр, $SC$ - боковое ребро. Треугольник $SOC$ прямоугольный ($OC \perp SO$). $OC^2 = SC^2 - SO^2 = 17^2 - 8^2 = 289 - 64 = 225$. Значит $OC = 15$. Диагональ квадрата $AC = 2 \cdot OC = 30$. В квадрате со стороной $a$ диагональ $a\sqrt{2} = 30$, значит сторона $a = \frac{30}{\sqrt{2}} = 15\sqrt{2}$. Отрезок $BD$ - это диагональ основания (квадрата), она равна $AC$. **Ответ: 30**