1. Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABC равен 70°, угол CAD равен 49°. Найдите угол ABD. Ответ дайте в градусах.

1. Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABC равен $70^{\circ}$, угол CAD равен $49^{\circ}$. Найдите угол ABD. Так как углы ABC и ADC опираются на одну дугу AC, то $\angle ADC = \angle ABC = 70^{\circ}$ (свойство вписанных углов). В треугольнике ACD: $\angle ACD = 180^{\circ} - \angle ADC - \angle CAD = 180^{\circ} - 70^{\circ} - 49^{\circ} = 61^{\circ}$. Углы ABD и ACD опираются на одну дугу AD, значит $\angle ABD = \angle ACD = 61^{\circ}$. **Ответ: 61** 2. Окружность с центром O описана около равнобедренного треугольника ABC, в котором AB = BC и $\angle ABC = 123^{\circ}$. Найдите величину угла BOC. Угол BOC является центральным углом, опирающимся на дугу BC. Вписанный угол BAC опирается на дугу BC. Так как треугольник равнобедренный ($AB=BC$), то углы при основании равны: $\angle BAC = \angle BCA = (180^{\circ} - 123^{\circ}) / 2 = 57^{\circ} / 2 = 28,5^{\circ}$. Центральный угол равен удвоенному вписанному, опирающемуся на ту же дугу: $\angle BOC = 2 \cdot \angle BAC = 2 \cdot 28,5^{\circ} = 57^{\circ}$. **Ответ: 57** 3. Центр окружности, описанной около треугольника ABC, лежит на стороне AB. Радиус окружности равен 25. Найдите AC, если BC = 48. Так как центр описанной окружности лежит на стороне AB, то AB — диаметр. Треугольник ABC прямоугольный, так как опирается на диаметр ($\angle ACB = 90^{\circ}$). По теореме Пифагора $AB^2 = AC^2 + BC^2$. Радиус равен 25, значит диаметр AB = 50. $50^2 = AC^2 + 48^2$ $2500 = AC^2 + 2304$ $AC^2 = 196$ $AC = 14$. **Ответ: 14** 4. Угол A четырёхугольника ABCD, вписанного в окружность, равен $37^{\circ}$. Найдите угол C этого четырёхугольника. Сумма противоположных углов вписанного четырёхугольника равна $180^{\circ}$. $\angle A + \angle C = 180^{\circ} \implies \angle C = 180^{\circ} - 37^{\circ} = 143^{\circ}$. **Ответ: 143** 5. В треугольнике ABC угол C равен $30^{\circ}$, AB = 26. Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника. По теореме синусов: $a / \sin A = b / \sin B = c / \sin C = 2R$. $AB / \sin C = 2R$ $26 / \sin 30^{\circ} = 2R$ $26 / 0,5 = 2R$ $52 = 2R \implies R = 26$. **Ответ: 26**