Вычислить: 1) sin alpha и tg alpha, если cos alpha = -sqrt(5)/4, alpha E (pi/2; pi)

Привет! Давай решим эти тригонометрические задачи, используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$, а также определения тангенса и котангенса. 1) Дано: $\cos \alpha = -\frac{\sqrt{5}}{4}$, $\alpha \in (\frac{\pi}{2}; \pi)$ (II четверть, где $\sin \alpha > 0$, $\tg \alpha < 0$). $\sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha = 1 - (-\frac{\sqrt{5}}{4})^2 = 1 - \frac{5}{16} = \frac{11}{16}$. Так как $\alpha$ во II четверти, $\sin \alpha = \sqrt{\frac{11}{16}} = \frac{\sqrt{11}}{4}$. $\tg \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{\sqrt{11}/4}{-\sqrt{5}/4} = -\frac{\sqrt{11}}{\sqrt{5}} = -\frac{\sqrt{55}}{5}$. 2) Дано: $\text{ctg } \alpha = \frac{\sqrt{5}}{2}$, $\alpha \in (8\pi; \frac{17\pi}{2})$ (I четверть, $8\pi$ эквивалентно $0$, $8\pi < \alpha < 8\pi + \frac{\pi}{2}$). Во I четверти всё положительно. Используем формулу $1 + \text{ctg}^2 \alpha = \frac{1}{\sin^2 \alpha}$. $1 + (\frac{\sqrt{5}}{2})^2 = 1 + \frac{5}{4} = \frac{9}{4} = \frac{1}{\sin^2 \alpha} \Rightarrow \sin^2 \alpha = \frac{4}{9} \Rightarrow \sin \alpha = \frac{2}{3}$. $\cos \alpha = \text{ctg } \alpha \cdot \sin \alpha = \frac{\sqrt{5}}{2} \cdot \frac{2}{3} = \frac{\sqrt{5}}{3}$. 3) Дано: $\tg \alpha = \frac{3}{4}$, $\alpha \in (3\pi; \frac{7\pi}{2})$ (III четверть, где $\sin \alpha < 0, \cos \alpha < 0$). Используем $1 + \tg^2 \alpha = \frac{1}{\cos^2 \alpha}$. $1 + (\frac{3}{4})^2 = 1 + \frac{9}{16} = \frac{25}{16} = \frac{1}{\cos^2 \alpha} \Rightarrow \cos^2 \alpha = \frac{16}{25}$. Так как III четверть, $\cos \alpha = -\frac{4}{5}$. $\sin \alpha = \tg \alpha \cdot \cos \alpha = \frac{3}{4} \cdot (-\frac{4}{5}) = -\frac{3}{5}$. 4) Дано: $\cos \alpha = \frac{12}{13}$, $\alpha \in (0; \frac{\pi}{2})$ (I четверть, всё положительно). $\sin^2 \alpha = 1 - (\frac{12}{13})^2 = 1 - \frac{144}{169} = \frac{25}{169} \Rightarrow \sin \alpha = \frac{5}{13}$. $\tg \alpha = \frac{5/13}{12/13} = \frac{5}{12}$. $\text{ctg } \alpha = \frac{1}{\tg \alpha} = \frac{12}{5}$. 5) Дано: $\cos \alpha = \frac{2\sqrt{6}}{5}$, $\alpha \in (\frac{3\pi}{2}; 2\pi)$ (IV четверть, $\sin \alpha < 0$). $\sin^2 \alpha = 1 - (\frac{2\sqrt{6}}{5})^2 = 1 - \frac{24}{25} = \frac{1}{25} \Rightarrow \sin \alpha = -\frac{1}{5}$. Нам нужно найти $5 \sin \alpha = 5 \cdot (-\frac{1}{5}) = -1$.