1. В треугольнике ABC проведена биссектриса AD и AB=AD=CD. Найдите меньший угол треугольника ABC.

1. Обозначим $\angle B = x$. Так как $AB = AD$, то $\triangle ABD$ равнобедренный, $\angle ADB = \angle B = x$. Так как $AD$ — биссектриса, $\angle DAC = \angle BAD = x$. Так как $AD = CD$, то $\triangle ADC$ равнобедренный, $\angle C = \angle DAC = x$. Сумма углов $\triangle ABC$ равна $180^\circ$. Угол $A = 2x$, $B=x$, $C=x$. $2x + x + x = 180^\circ \Rightarrow 4x = 180^\circ \Rightarrow x = 45^\circ$. Меньший угол равен $45^\circ$. 2. $\vec{a} + \vec{b} = (3+2; 1-6) = (5; -5)$. $5\vec{a} = (15; 5)$. $5\vec{a} - \vec{b} = (15-2; 5-(-6)) = (13; 11)$. Скалярное произведение: $5 \cdot 13 + (-5) \cdot 11 = 65 - 55 = 10$. 3. Пусть $O$ — центр основания. $OM$ — отрезок, соединяющий центр с серединой стороны $BC$. $OM = 2\sqrt{2}$ (половина стороны квадрата со стороной $4\sqrt{2}$). Искомый тангенс угла $\varphi$ между плоскостями — это отношение высоты $SO$ к отрезку $OM$: $\tan \varphi = \frac{SO}{OM} = \frac{13}{2\sqrt{2}} = \frac{13\sqrt{2}}{4} = 3,25\sqrt{2} \approx 4,596$. 4. Вероятности: выигрыш $0,4$, проигрыш $0,4$, ничья $1 - 0,4 - 0,4 = 0,2$. Чтобы набрать $\ge 4$ очка: - Выигрыш + Выигрыш (6 очков): $0,4 \cdot 0,4 = 0,16$. - Выигрыш + Ничья (4 очка): $0,4 \cdot 0,2 = 0,08$. - Ничья + Выигрыш (4 очка): $0,2 \cdot 0,4 = 0,08$. Итого: $0,16 + 0,08 + 0,08 = 0,32$. 5. По формуле полной вероятности: $P(A) = P(A|\text{деф}) \cdot P(\text{деф}) + P(A|\text{исп}) \cdot P(\text{исп}) = 0,97 \cdot 0,02 + 0,05 \cdot 0,98 = 0,0194 + 0,049 = 0,0684$. 6. $\tan(\frac{\pi x}{4}) = -1 \Rightarrow \frac{\pi x}{4} = -\frac{\pi}{4} + \pi k \Rightarrow x = -1 + 4k$. Наибольший отрицательный корень при $k=0$: $x = -1$. 7. $\sin \alpha = -\frac{5}{\sqrt{26}}$, $\alpha \in (\pi; \frac{3\pi}{2})$. $\cos^2 \alpha = 1 - \frac{25}{26} = \frac{1}{26}$. В III четверти $\cos \alpha = -\frac{1}{\sqrt{26}}$. $\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{-5/\sqrt{26}}{-1/\sqrt{26}} = 5$. 8. Касательная параллельна $y=6x$, значит, её угловой коэффициент равен $6$. Нужно найти точку, где $f'(x)=6$. По графику функции $y=f'(x)$ найдите значение $6$ на оси $OY$ и определите соответствующее значение $x$.