В треугольнике ABC: AB=6см, BC=8см, медианы AM и CN образуют угол в 90. Найдите длину стороны AC

Question

Вопрос:

В треугольнике ABC: AB=6см, BC=8см, медианы AM и CN образуют угол в 90. Найдите длину стороны AC

Фотография

Ответ ассистента

Accepted Answer

Пусть медианы $AM$ и $CN$ пересекаются в точке $O$. 1. Медианы треугольника делятся точкой пересечения в отношении $2:1$, считая от вершины. Значит, $AO = \frac{2}{3}AM$, $OM = \frac{1}{3}AM$, $CO = \frac{2}{3}CN$, $ON = \frac{1}{3}CN$. 2. Так как $AM \perp CN$, треугольники $AOC$, $AON$, $MOC$ и $MON$ — прямоугольные. 3. В прямоугольном $\triangle AON$ по теореме Пифагора: $AO^2 + ON^2 = AN^2 = (\frac{1}{2}AB)^2 = 3^2 = 9$. Так как $AO = \frac{2}{3}AM$ и $ON = \frac{1}{3}CN$, получим: $\frac{4}{9}AM^2 + \frac{1}{9}CN^2 = 9 \Rightarrow 4AM^2 + CN^2 = 81$. (1) 4. В прямоугольном $\triangle MOC$ по теореме Пифагора: $MO^2 + OC^2 = MC^2 = (\frac{1}{2}BC)^2 = 4^2 = 16$. Так как $MO = \frac{1}{3}AM$ и $OC = \frac{2}{3}CN$, получим: $\frac{1}{9}AM^2 + \frac{4}{9}CN^2 = 16 \Rightarrow AM^2 + 4CN^2 = 144$. (2) 5. Сложим уравнения (1) и (2): $5AM^2 + 5CN^2 = 225 \Rightarrow AM^2 + CN^2 = 45$. 6. В прямоугольном $\triangle AOC$ по теореме Пифагора $AC^2 = AO^2 + OC^2$: $AC^2 = (\frac{2}{3}AM)^2 + (\frac{2}{3}CN)^2 = \frac{4}{9}(AM^2 + CN^2)$. Подставим найденную сумму: $AC^2 = \frac{4}{9} \cdot 45 = 4 \cdot 5 = 20$. $AC = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$ см. **Ответ: 2\sqrt{5} см.**

В треугольнике ABC: AB=6см, BC=8см, медианы AM и CN образуют угол в 90. Найдите длину стороны AC

Ответ ассистента

Другие решения