6. На рисунке CD = FG, DE = EF и ∠CDE = ∠EFG. Докажите, что точка E — середина отрезка CG.

Привет! Давай разберем задачи из твоего учебника. Все они решаются через признаки равенства треугольников. ### Решение задачи 6 1) Рассмотрим треугольники $CDE$ и $GFE$. Они равны по двум сторонам и углу между ними (по условию $CD = FG$, $DE = EF$ и $\angle CDE = \angle EFG$). 2) Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон. Поэтому $CE = EG$. 3) Точка $E$ лежит на отрезке $CG$, и так как $CE = EG$, значит, точка $E$ — середина отрезка $CG$. ### Решение задачи 7 1) Рассмотрим $\triangle MPK$ и $\triangle NPK$. Они равны по двум сторонам и углу между ними: - $MP = NP$ (по условию); - $PK$ — общая сторона; - $\angle MPK = \angle NPK$ (по условию). 2) Соответствующие стороны равных треугольников равны, поэтому $MK = NK$. ### Решение задачи 8 Рассмотрим $\triangle PRH$ и $\triangle KRH$. Они равны по двум сторонам и углу между ними ($PR = RK$, $RH$ — общая, $\angle PRH = \angle KRH$). а) В равных треугольниках соответствующие углы равны, значит $\angle PHR = \angle KHR$. Так как $P, H, K$ лежат на одной прямой, то $\angle PHR + \angle KHR = 180^\circ$. Так как углы равны, то каждый из них равен $180^\circ / 2 = 90^\circ$. б) В равных треугольниках $PH = HK$. Значит, точка $H$ — середина отрезка $PK$. ### Решение задачи 9 Рассмотрим $\triangle NOP$ и $\triangle TOP$: - $TO = NO$ (так как $O$ — середина $TN$); - $OP$ — общая сторона; - $\angle NOP = \angle TOP = 90^\circ$ (так как $OP \perp TN$). Треугольники равны по двум сторонам и углу между ними. Следовательно, соответствующие углы равны: $\angle NPO = \angle TPO$. ### Решение задачи 10 Рассмотрим треугольники $VTP$ и $VTS$. По условию $PT = TS$; сторона $TV$ — общая; $\angle VTP = \angle VTS$ (так как $TX$ — биссектриса). Треугольники $VTP$ и $VTS$ равны по двум сторонам и углу между ними. $VP = VS$, так как они являются соответствующими сторонами равных треугольников.