Дана окружность (O; OC). Из точки M, которая находится вне окружности, проведена секущая MB и касательная MC. OD – перпендикуляр, проведённый из центра окружности к секущей MB и равный 5 см. Найди радиус окружности, если известно, что MB = 25 см и MC = 5 см.

Пусть $R$ — радиус окружности. Тогда $OC = R$. 1. Используем свойство касательной и секущей, проведённых из одной точки $M$ к окружности: $MC^2 = MA \cdot MB$, где $A$ — точка пересечения секущей с окружностью, лежащая между $M$ и $B$. Так как $MC = 5$, то $MC^2 = 25$. Значит, $MA \cdot MB = 25$. Нам известно, что $MB = 25$, следовательно, $MA = 25 / 25 = 1$ см. Тогда длина хорды $AB = MB - MA = 25 - 1 = 24$ см. 2. Рассмотрим треугольник $OAB$. Он равнобедренный, так как $OA = OB = R$. $OD$ — перпендикуляр к хорде $AB$, следовательно, он является и медианой. Значит, $AD = DB = AB / 2 = 24 / 2 = 12$ см. 3. Рассмотрим прямоугольный треугольник $ODB$ (угол $ODB = 90^\circ$). По теореме Пифагора: $OB^2 = OD^2 + DB^2$ $R^2 = 5^2 + 12^2$ $R^2 = 25 + 144$ $R^2 = 169$ $R = 13$ см. Ответ: 13