13. а) Решите уравнение 8^{1-4x} - 21 * 4^{1,5-3x} + 640 = 0. б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [-1; -0,5].

а) Решим уравнение $8^{1-4x} - 21 \cdot 4^{1,5-3x} + 640 = 0$. Приведем основания степеней к $2$: $8 = 2^3$, $4 = 2^2$. Тогда уравнение принимает вид: $(2^3)^{1-4x} - 21 \cdot (2^2)^{1,5-3x} + 640 = 0$ $2^{3-12x} - 21 \cdot 2^{3-6x} + 640 = 0$ Используем свойства степеней: $2^3 \cdot 2^{-12x} - 21 \cdot 2^3 \cdot 2^{-6x} + 640 = 0$ $8 \cdot (2^{-6x})^2 - 168 \cdot 2^{-6x} + 640 = 0$ Разделим на $8$: $(2^{-6x})^2 - 21 \cdot 2^{-6x} + 80 = 0$ Пусть $t = 2^{-6x}$, где $t > 0$. Тогда: $t^2 - 21t + 80 = 0$ Найдем корни квадратного уравнения через дискриминант: $D = (-21)^2 - 4 \cdot 80 = 441 - 320 = 121 = 11^2$ $t_1 = \frac{21 + 11}{2} = 16$ $t_2 = \frac{21 - 11}{2} = 5$ Возвращаемся к замене: 1) $2^{-6x} = 16 \Rightarrow 2^{-6x} = 2^4 \Rightarrow -6x = 4 \Rightarrow x = -\frac{2}{3}$ 2) $2^{-6x} = 5 \Rightarrow -6x = \log_2 5 \Rightarrow x = -\frac{\log_2 5}{6}$ Ответ (а): $-\frac{2}{3}; -\frac{\log_2 5}{6}$. б) Найдем корни, принадлежащие отрезку $[-1; -0,5]$: 1) $x_1 = -\frac{2}{3} \approx -0,666$. Так как $-1 \le -0,666 \le -0,5$, то корень подходит. 2) $x_2 = -\frac{\log_2 5}{6}$. Поскольку $2 < 5 < 4$, то $1 < \log_2 5 < 2$, значит $\frac{1}{6} < \frac{\log_2 5}{6} < \frac{2}{6} \approx 0,333$. Следовательно, $x_2$ лежит в интервале $(-0,333; -0,166)$, что не входит в отрезок $[-1; -0,5]$. Ответ (б): $-\frac{2}{3}$.