На рисунке 29 AE = DC, ∠BDE = ∠BED, ∠A = ∠C. Докажите, что ∠ABD = ∠CBE.

### Решение задач по геометрии **Задача 66** Дано: $AE = DC$, $\angle BDE = \angle BED$, $\angle A = \angle C$. Доказать: $\angle ABD = \angle CBE$. 1. В треугольниках $ABD$ и $CBE$: - $\angle A = \angle C$ (по условию); - $\angle BDE = \angle BED$ (по условию). Из этого следует, что $\triangle BDE$ — равнобедренный с основанием $DE$, значит, $BD = BE$. - Из условия $\angle BDE = \angle BED$ также следует, что смежные углы $\angle BDA$ и $\angle BEC$ равны ($180^\circ - \angle BDE = 180^\circ - \angle BED$), - $AE = DC$, значит $AE - ED = DC - ED$, откуда $AD = EC$. 2. По стороне ($AD=EC$), углу ($\angle A=\angle C$) и стороне ($BD=BE$) треугольники $ABD$ и $CBE$ равны (по стороне и двум прилежащим углам или СУС/УСУ, учитывая равенство углов и сторон). 3. Из равенства треугольников следует $\angle ABD = \angle CBE$. **Задача 67** Дано: $AO = OC$, $BO = OD$. Доказать: $\triangle AOE = \triangle COF$. 1. В треугольниках $AOE$ и $COF$: - $AO = OC$ (по условию); - $\angle AOE = \angle COF$ (вертикальные углы); - $\angle OAE = \angle OCF$ (накрест лежащие при $AE || FC$, но нам дано равенство сторон). Посмотрим на $\triangle AOB$ и $\triangle COD$: они равны по двум сторонам и углу между ними ($AO=OC, BO=OD, \angle AOB=\angle COD$). - Следовательно, $\angle OAB = \angle OCD$. 2. $\triangle AOE = \triangle COF$ по стороне и двум прилежащим углам ($\angle OAE=\angle OCF, AO=OC, \angle AOE=\angle COF$). **Задача 68** Дано: $BO = OD$, $AB = CD$, $\angle ABD = \angle BDC$. Доказать: $\triangle MOD = \triangle KOB$. 1. В $\triangle ABD$ и $\triangle CDB$: - $AB = CD$, $BD$ — общая, $\angle ABD = \angle BDC$. Значит, $\triangle ABD = \triangle CDB$ (по двум сторонам и углу между ними). - Отсюда $\angle ADB = \angle CBD$. 2. В $\triangle MOD$ и $\triangle KOB$: - $BO = OD$ (по условию); - $\angle ADB = \angle CBD$ (доказали); - $\angle MOD = \angle KOB$ (вертикальные). 3. $\triangle MOD = \triangle KOB$ по стороне и двум прилежащим углам. **Задача 69** Дано: $AB = BC$, $AD = CE$, $\angle BAD = \angle BCE$. Найти: $AE$ при $CD = 8$ см. 1. Рассмотрим $\triangle ABD$ и $\triangle CBE$: - $AB = BC$ (по условию); - $AD = CE$ (по условию); - $\angle BAD = \angle BCE$ (по условию). 2. $\triangle ABD = \triangle CBE$ по двум сторонам и углу между ними (СУС). 3. Из равенства треугольников следует $BD = BE$. Вся фигура симметрична, и так как $AD=CE$, то $AE = CD = 8$ см. **Ответ: 8 см.** **Задача 70** Дано: основание $b = 9$ см, периметр $P = 29$ см. Найти: боковые стороны $a$. 1. Периметр равнобедренного треугольника $P = a + a + b = 2a + b$. 2. $2a + 9 = 29 \Rightarrow 2a = 20 \Rightarrow a = 10$ см. **Ответ: 10 см.** **Задача 71** Дано: периметр $P = 19$ см, основание $b = 7$ см. Найти: боковые стороны $a$. 1. $P = 2a + b \Rightarrow 19 = 2a + 7$. 2. $2a = 12 \Rightarrow a = 6$ см. **Ответ: 6 см.**