77. Серединный перпендикуляр стороны AB равнобедренного треугольника ABC (AB = BC) пересекает сторону BC в точке F. Найдите сторону AC, если AB = 18 см, а периметр треугольника AFC равен 27 см.

77. Точка $F$ лежит на серединном перпендикуляре к $AB$, значит, $AF = BF$. Периметр $\triangle AFC = AF + FC + AC = BF + FC + AC$. Так как $BF + FC = BC$, то $BC + AC = 27$. Поскольку $\triangle ABC$ равнобедренный с основанием $AC$, то $AB = BC = 18$ см. Получаем: $18 + AC = 27$, откуда $AC = 9$ см. Ответ: 9 см. 78. 1. $\triangle FDK = \triangle FEM$ по двум сторонам и углу между ними ($DF = EF$, $FK = FM$, $\angle F$ — общая). Отсюда следует, что $DK = EM$ и $\angle FDK = \angle FEM$. 2. $\angle FDE = \angle FED$ (углы при основании равнобедренного $\triangle DFE$). 3. $\angle KDE = \angle FDE - \angle FDK$ и $\angle MED = \angle FED - \angle FEM$. Так как $\angle FDE = \angle FED$ и $\angle FDK = \angle FEM$, то $\angle KDE = \angle MED$. 4. $\triangle DKE = \triangle EMD$ по двум сторонам и углу между ними ($DK = EM$, $DE$ — общая, $\angle KDE = \angle MED$). Значит, $\angle DKE = \angle DME$, что и требовалось доказать. 79. Пусть $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$ равнобедренные. 1. В равнобедренном треугольнике медиана к основанию является биссектрисой угла при вершине. Значит, $\angle ABM = \angle B / 2 = \angle B_1 / 2 = \angle A_1B_1M_1$. 2. $\triangle ABM = \triangle A_1B_1M_1$ по двум сторонам ($AB=A_1B_1$, $BM=B_1M_1$) и углу между ними. 3. Из равенства треугольников следует равенство сторон $AM = A_1M_1$, значит $AC = A_1C_1$. Тогда $\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1$ по трем сторонам. 80. В $\triangle ABC$ углы при основании $AC$ равны ($\angle 1 = \angle 2$, т.е. $\angle BAC = \angle BCA$). По признаку равнобедренного треугольника, если углы при основании равны, то треугольник равнобедренный. Следовательно, $AB = BC$. 81. В равнобедренном $\triangle ABC$ медиана $BM$ также является высотой ($BM \perp AC$). Рассмотрим $\triangle AOM$ и $\triangle COM$. Они прямоугольные. $AM = MC$ (так как $BM$ — медиана), $OM$ — общий катет. Значит, $\triangle AOM = \triangle COM$ по двум катетам. Из равенства треугольников следует равенство гипотенуз: $AO = CO$. Так как $AO = CO$, то $\triangle AOC$ — равнобедренный.