80. На рисунке 34 ∠1 = ∠2. Докажите, что AB = BC.

80. Доказательство: Углы $\angle 1$ и $\angle BAC$ смежные, так же как $\angle 2$ и $\angle BCA$. По условию $\angle 1 = \angle 2$. Так как сумма смежных углов равна $180^\circ$, то: $\angle BAC = 180^\circ - \angle 1$ $\angle BCA = 180^\circ - \angle 2$ Следовательно, $\angle BAC = \angle BCA$. Если углы при основании треугольника равны, то треугольник равнобедренный. Значит, $AB = BC$. 81. Доказательство: В равнобедренном треугольнике $ABC$ медиана $BM$, проведенная к основанию $AC$, является также высотой. Это значит, что $BM \perp AC$ и $AM = MC$ (точка $M$ — середина $AC$). Рассмотрим треугольники $\triangle AOM$ и $\triangle COM$: 1. $AM = MC$ (по доказанному выше); 2. $\angle AMO = \angle CMO = 90^\circ$ ($BM \perp AC$); 3. $OM$ — общая сторона. Треугольники равны по двум катетам (по первому признаку равенства прямоугольных треугольников). Из равенства треугольников следует, что соответствующие стороны равны: $AO = CO$. Треугольник $AOC$ имеет две равные стороны, значит, он равнобедренный.