1 Какие из данных чисел являются взаимно простыми: а) 12 и 15; б) 29 и 34; в) 25 и 30; г) 72 и 73?

1. Взаимно простые числа — это те, у которых наибольший общий делитель (НОД) равен 1. а) 12 и 15: НОД(12, 15) = 3 (не взаимно простые). б) 29 и 34: 29 — простое, 34 = 2 * 17. НОД = 1 (взаимно простые). в) 25 и 30: НОД(25, 30) = 5 (не взаимно простые). г) 72 и 73: Соседние целые числа всегда взаимно просты (взаимно простые). Ответ: б, г. 2. Даны разложения: $A = 2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 7$ и $B = 2 \cdot 7 \cdot 11$. Чтобы найти НОД, перемножим общие множители: $2 \cdot 7 = 14$. Ответ: 14. 3. Найдем НОД: а) $34 = 2 \cdot 17$; $56 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 7$. Общий множитель 2. НОД = 2. б) $45 = 3 \cdot 3 \cdot 5$; $65 = 5 \cdot 13$. Общий множитель 5. НОД = 5. в) $102 = 2 \cdot 3 \cdot 17$; $204 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 17$. Общие множители 2, 3, 17. НОД = $2 \cdot 3 \cdot 17 = 102$. г) $1005 = 3 \cdot 5 \cdot 67$; $960 = 2^6 \cdot 3 \cdot 5$. Общие множители 3, 5. НОД = $3 \cdot 5 = 15$. 4. Разложение на простые множители: $1440 = 144 \cdot 10 = 12^2 \cdot 2 \cdot 5 = (2^2 \cdot 3)^2 \cdot 2 \cdot 5 = 2^4 \cdot 3^2 \cdot 2 \cdot 5 = 2^5 \cdot 3^2 \cdot 5$. $240 = 24 \cdot 10 = 2^3 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 5 = 2^4 \cdot 3 \cdot 5$. 5. Дробь $\frac{m}{15}$ правильная ($m < 15$), $m$ и 15 взаимно просты. Число 15 делится на 3 и 5. Значит, $m$ не должно делиться на 3 и на 5. Возможные значения $m$: 1, 2, 4, 7, 8, 11, 13, 14.